Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Asturias · 2022

Dos hilos conductores rectilíneos de longitud indefinida se hallan situados en el plano $XY$, uno de ellos a lo largo del eje $OX$ y el otro de forma paralela a una distancia determinada. La intensidad de corriente que recorre el hilo conductor del eje $OX$ tiene un valor de 2 A y circula en el sentido positivo del eje. La intensidad de corriente en el segundo conductor es de 3 A.

a) Determine el módulo, dirección y sentido del campo magnético creado por el primer conductor en el punto de coordenadas $(-1,-1)$. [0,5 puntos]

b) Determine el sentido de circulación de la corriente que circula por el segundo conductor y la posición a la que se encuentra respecto del primero, para que el vector campo magnético $\vec{B}$ resultante sea nulo en el punto de coordenadas $(1,1)$, expresadas en unidades del S.I. Justifique las dos posibles soluciones. [1,5 puntos]

Dato: $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$.

$\textbf{a) Determine el módulo, dirección y sentido del campo magnético creado por el primer conductor en el punto de coordenadas } \boldsymbol{(-1,-1)}\textbf{. [0,5 puntos]}$










El módulo del campo creado por un conductor rectilíneo indefinido viene dado por la ley de Biot-Savart:

$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

El conductor va sobre el eje $OX$, así que la distancia del punto $(-1,-1)$ al hilo es su ordenada en valor absoluto:

$r=1\ \text{m}$





$B=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot2}{2\pi\cdot1}=4\cdot10^{-7}\ \text{T}$

Para la dirección y el sentido se aplica la regla de la mano derecha. Con la corriente en el sentido $+\vec{\imath}$ y el punto por debajo del hilo, el campo es perpendicular al plano $XY$ y entrante:

$\vec B=-4\cdot10^{-7}\,\vec k\ \text{T}$

El campo tiene módulo $4\cdot10^{-7}\ \text{T}$, dirección la del eje $Z$ y sentido negativo, es decir, entrante en el plano del papel.

$\textbf{b) Determine el sentido de circulación de la corriente que circula por el segundo conductor y la posición a la que se encuentra respecto del primero, para que el vector campo magnético } \boldsymbol{\vec{B}}\textbf{ resultante sea nulo en el punto de coordenadas } \boldsymbol{(1,1)}\textbf{, expresadas en unidades del S.I. Justifique las dos posibles soluciones. [1,5 puntos]}$

En el punto $(1,1)$, que está por encima del primer hilo, su campo es saliente:

$\vec B_1=+\frac{\mu_0\cdot2}{2\pi\cdot1}\,\vec k=4\cdot10^{-7}\,\vec k\ \text{T}$

Para que el campo total se anule, el segundo conductor debe crear allí un campo entrante del mismo módulo:

$\frac{\mu_0\cdot3}{2\pi\,d}=4\cdot10^{-7}\Rightarrow \frac{2\cdot10^{-7}\cdot3}{d}=4\cdot10^{-7}$

$d=1{,}5\ \text{m}$

El segundo conductor es paralelo al primero, así que está en una recta $y=\text{cte}$ situada a $1{,}5\ \text{m}$ del punto $(1,1)$. Hay dos rectas que cumplen esa condición, y de ahí las dos soluciones:

i) El conductor en $y=2{,}5\ \text{m}$, por encima del punto. Entonces el punto queda por debajo del hilo, y para que su campo sea entrante la corriente debe circular en el sentido $+\vec{\imath}$, el mismo que la del primer conductor. Queda a $2{,}5\ \text{m}$ por encima del eje $OX$.

ii) El conductor en $y=-0{,}5\ \text{m}$, por debajo del punto. Ahora el punto queda por encima del hilo, y para que el campo sea entrante la corriente debe circular en el sentido $-\vec{\imath}$, contrario a la del primero. Queda a $0{,}5\ \text{m}$ por debajo del eje $OX$.

En los dos casos el módulo del campo del segundo conductor en $(1,1)$ es:

$B_2=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot3}{2\pi\cdot1{,}5}=4\cdot10^{-7}\ \text{T}$

igual y opuesto al del primero, de modo que el campo resultante se anula.