Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2022

Una carga eléctrica positiva $q_1 = 6\ \mu\text{C}$ se coloca en el origen de coordenadas. Otra carga eléctrica positiva $q_2 = 3\ \mu\text{C}$ se acerca desde el infinito hasta una distancia de 9 m de $q_1$ sobre el eje $X$ positivo.

a) Calcule el trabajo realizado para llevar la carga eléctrica $q_2$ hasta dicho punto. Especifique si es un trabajo realizado por el campo eléctrico de la carga $q_1$ o contrario al campo. [1 punto]

b) Determine el punto del eje $X$ situado entre ambas cargas positivas en el que una carga negativa $-q$ estaría en equilibrio electrostático. [1 punto]

Dato: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el trabajo realizado para llevar la carga eléctrica } \boldsymbol{q_2}\textbf{ hasta dicho punto. Especifique si es un trabajo realizado por el campo eléctrico de la carga } \boldsymbol{q_1}\textbf{ o contrario al campo. [1 punto]}$

El campo eléctrico es conservativo, así que el trabajo de sus fuerzas depende únicamente de los potenciales inicial y final:

$W_{\infty\to P}=q_2\,(V_\infty-V_P)$

Tomando el origen de potenciales en el infinito, $V_\infty=0$, y el potencial que crea $q_1$ a $9\ \text{m}$ es:

$V_P=K\frac{q_1}{r}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{6\cdot10^{-6}}{9}=6\,000\ \text{V}$

$W_{\infty\to P}=3\cdot10^{-6}\cdot(0-6\,000)$

$W_{\infty\to P}=-1{,}8\cdot10^{-2}\ \text{J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo. Es lo esperable: las dos cargas son positivas y se repelen, de modo que acercar $q_2$ desde el infinito exige vencer esa repulsión. El desplazamiento no es espontáneo y el trabajo lo realiza un agente externo en contra del campo, aportando $1{,}8\cdot10^{-2}\ \text{J}$.

$\textbf{b) Determine el punto del eje } \boldsymbol{X}\textbf{ situado entre ambas cargas positivas en el que una carga negativa } \boldsymbol{-q}\textbf{ estaría en equilibrio electrostático. [1 punto]}$

La carga negativa está en equilibrio donde el campo total se anula, porque entonces también se anula la fuerza $\vec F=q\,\vec E$ que actúa sobre ella. Los campos de dos cargas positivas solo tienen sentidos opuestos en el tramo comprendido entre ellas.



Llamando $x$ a la distancia desde $q_1$:

$K\frac{q_1}{x^2}=K\frac{q_2}{(9-x)^2}\Rightarrow \frac{6}{x^2}=\frac{3}{(9-x)^2}$

$\frac{(9-x)^2}{x^2}=\frac12\Rightarrow \frac{9-x}{x}=\frac{1}{\sqrt2}$

$9\sqrt2-\sqrt2\,x=x\Rightarrow x=\frac{9\sqrt2}{1+\sqrt2}$

$x=5{,}27\ \text{m}$

La carga negativa estaría en equilibrio en el punto $(5{,}27,\,0)\ \text{m}$, a $5{,}27\ \text{m}$ de $q_1$ y a $3{,}73\ \text{m}$ de $q_2$: más cerca de la carga menor, como cabía esperar. Se trata, además, de un equilibrio inestable: cualquier desplazamiento a lo largo del eje hace que gane la carga hacia la que se ha movido.