Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2022

La intensidad del campo gravitatorio de un planeta de radio $R_T$ es $g_0 = 9{,}80\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$.

a) Determine a qué distancia desde el centro del planeta la intensidad de la gravedad disminuye a la mitad de su valor, $g_0/2$ (punto $A$), y a la tercera parte, $g_0/3$ (punto $B$). [1 punto]

b) Calcule la velocidad mínima que ha de llevar un cohete en el punto $A$ para que llegue justo hasta el punto $B$. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$.

$\textbf{a) Determine a qué distancia desde el centro del planeta la intensidad de la gravedad disminuye a la mitad de su valor, } \boldsymbol{g_0/2}\textbf{ (punto } \boldsymbol{A}\textbf{), y a la tercera parte, } \boldsymbol{g_0/3}\textbf{ (punto } \boldsymbol{B}\textbf{). [1 punto]}$










La intensidad del campo gravitatorio a una distancia $r$ del centro del planeta es:

$g=G\frac{M}{r^2}$

y en la superficie, con $r=R_T$:

$g_0=G\frac{M}{R_T^2}$

Dividiendo las dos expresiones se elimina el producto $G\,M$, que no hace falta conocer:

$\frac{g}{g_0}=\left(\frac{R_T}{r}\right)^2$





Para el punto $A$, donde la gravedad vale la mitad:

$\frac12=\left(\frac{R_T}{r_A}\right)^2\Rightarrow r_A=R_T\sqrt2$

$r_A=6{,}37\cdot10^{6}\cdot\sqrt2=9{,}01\cdot10^{6}\ \text{m}$

Y para el punto $B$, donde vale la tercera parte:

$\frac13=\left(\frac{R_T}{r_B}\right)^2\Rightarrow r_B=R_T\sqrt3$

$r_B=6{,}37\cdot10^{6}\cdot\sqrt3=1{,}10\cdot10^{7}\ \text{m}$

Los dos puntos están a $9{,}01\cdot10^{6}\ \text{m}$ y $1{,}10\cdot10^{7}\ \text{m}$ del centro del planeta.

$\textbf{b) Calcule la velocidad mínima que ha de llevar un cohete en el punto } \boldsymbol{A}\textbf{ para que llegue justo hasta el punto } \boldsymbol{B}\textbf{. [1 punto]}$

La velocidad mínima es la que hace que el cohete llegue a $B$ justo con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa, se conserva la energía mecánica entre los dos puntos:

$-G\frac{M\,m}{r_A}+\frac12\,m\,v^2=-G\frac{M\,m}{r_B}+0$

$\frac12\,v^2=G\,M\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)\Rightarrow v=\sqrt{2\,G\,M\left(\frac{1}{r_A}-\frac{1}{r_B}\right)}$

El producto $G\,M$ se obtiene de la gravedad en la superficie:

$G\,M=g_0\,R_T^2=9{,}80\cdot(6{,}37\cdot10^{6})^2=3{,}98\cdot10^{14}\ \text{m}^3\cdot\text{s}^{-2}$

Sustituyendo:

$v=\sqrt{2\cdot3{,}98\cdot10^{14}\left(\frac{1}{9{,}01\cdot10^{6}}-\frac{1}{1{,}10\cdot10^{7}}\right)}$

$v=4{,}03\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El cohete debe partir de $A$ con una velocidad mínima de $4{,}03\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$.