Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2023

Un rayo de luz monocromática incide desde el aire con un ángulo $\varphi_i = 45^\circ$ sobre una de las caras de un prisma triangular de material transparente, cuyas superficies planas forman un ángulo de $60^\circ$, según se ilustra en la figura adjunta. Si el índice de refracción del material para esa radiación monocromática es $n_{\text{material}} = 1{,}45$, determine:

a) El ángulo de refracción en la primera superficie. [1 punto]

b) El menor valor posible del ángulo de incidencia sobre la segunda superficie para que un rayo que viaja por el interior del prisma pueda emerger a través de ella hacia el aire. [1 punto]

$\textbf{a) El ángulo de refracción en la primera superficie. [1 punto]}$










Al pasar la luz del aire al material del prisma se aplica la ley de Snell, midiendo los ángulos respecto de la normal a la cara:

$n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,\varphi_i=n_{\text{material}}\,\text{sen}\,\hat r$

$\text{sen}\,\hat r=\frac{1\cdot\text{sen}\,45^\circ}{1{,}45}=\frac{0{,}707}{1{,}45}=0{,}488$

$\hat r=29{,}19^\circ$





El rayo se refracta acercándose a la normal, como corresponde al paso a un medio más refringente, y viaja por el interior del prisma formando $29{,}19^\circ$ con la normal a la primera cara.

$\textbf{b) El menor valor posible del ángulo de incidencia sobre la segunda superficie para que un rayo que viaja por el interior del prisma pueda emerger a través de ella hacia el aire. [1 punto]}$

El paso del prisma al aire es un paso a un medio menos refringente, así que puede haber reflexión total. El valor que separa los dos comportamientos es el ángulo límite, aquel al que corresponde un ángulo de refracción de $90^\circ$:

$n_{\text{material}}\,\text{sen}\,\hat\lambda=n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,90^\circ$

$\text{sen}\,\hat\lambda=\frac{1}{1{,}45}=0{,}690$

$\hat\lambda=43{,}60^\circ$

Ese es el valor pedido: para ángulos de incidencia menores que $43{,}60^\circ$ el rayo emerge al aire y para ángulos mayores queda atrapado dentro del prisma por reflexión total. Dicho de otro modo, $43{,}60^\circ$ es el menor ángulo de incidencia con el que un rayo interior ya no puede salir.

Conviene comprobar qué le ocurre al rayo del apartado a). En un prisma cuyas caras forman $60^\circ$, el ángulo de incidencia sobre la segunda cara es:

$\hat\imath_2=60^\circ-\hat r=60^\circ-29{,}19^\circ=30{,}81^\circ$

Como $30{,}81^\circ<43{,}60^\circ$, ese rayo sí emerge, y lo hace con un ángulo de refracción:

$\text{sen}\,\hat e=1{,}45\cdot\text{sen}\,30{,}81^\circ=0{,}743\Rightarrow \hat e=47{,}98^\circ$