Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2023

Dos altavoces que se encuentran separados una distancia de 8 m emiten sonido con sendas potencias de 100 W y 120 W, respectivamente.

a) Determine el nivel de intensidad sonora total que mide un técnico de sonido con un sonómetro en un punto situado a mitad de distancia entre ambos altavoces. [1 punto]

b) ¿En qué puntos de la línea que une ambos altavoces se mediría la misma sonoridad para cada altavoz? [1 punto]

Dato: $I_0 = 10^{-12}\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine el nivel de intensidad sonora total que mide un técnico de sonido con un sonómetro en un punto situado a mitad de distancia entre ambos altavoces. [1 punto]}$

Cada altavoz se comporta como un foco puntual y reparte su potencia sobre la superficie de una esfera:

$I=\frac{P}{4\pi r^2}$

El punto medio está a $r=4\ \text{m}$ de cada altavoz:

$I_1=\frac{100}{4\pi\cdot4^2}=0{,}497\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

$I_2=\frac{120}{4\pi\cdot4^2}=0{,}597\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$



Lo que se suma son las intensidades, no los niveles sonoros:

$I_{\text{total}}=I_1+I_2=1{,}094\ \text{W}\cdot\text{m}^{-2}$

$\beta=10\log\frac{I_{\text{total}}}{I_0}=10\log\frac{1{,}094}{10^{-12}}$

$\beta=120{,}4\ \text{dB}$

El sonómetro marca $120{,}4\ \text{dB}$ en el punto medio, un nivel que está en el umbral del dolor.

$\textbf{b) ¿En qué puntos de la línea que une ambos altavoces se mediría la misma sonoridad para cada altavoz? [1 punto]}$

Que las dos sonoridades sean iguales equivale a que lo sean las dos intensidades, porque el nivel es una función creciente de la intensidad:

$\frac{P_1}{4\pi r_1^2}=\frac{P_2}{4\pi r_2^2}\Rightarrow \frac{r_2}{r_1}=\sqrt{\frac{P_2}{P_1}}=\sqrt{\frac{120}{100}}=1{,}095$

i) Puntos situados entre los dos altavoces, donde $r_1+r_2=8\ \text{m}$:

$r_1+1{,}095\,r_1=8\Rightarrow r_1=\frac{8}{2{,}095}=3{,}82\ \text{m}$

$r_2=8-3{,}82=4{,}18\ \text{m}$

ii) Puntos de la misma recta pero fuera del segmento. Solo pueden estar del lado del altavoz menos potente, donde $r_2-r_1=8\ \text{m}$:

$1{,}095\,r_1-r_1=8\Rightarrow r_1=\frac{8}{0{,}095}=83{,}8\ \text{m}$

Sobre la línea que une los altavoces hay, por tanto, un punto a $3{,}82\ \text{m}$ del primero y $4{,}18\ \text{m}$ del segundo —algo más cerca del altavoz de menos potencia, como cabía esperar— y otro muy alejado, a $83{,}8\ \text{m}$ del primero por el lado opuesto al segundo.