Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2023

Una onda armónica transversal de frecuencia $f = 0{,}25\ \text{Hz}$, longitud de onda $\lambda = 2\ \text{m}$ y amplitud de vibración de $0{,}5\ \text{m}$, se propaga en el sentido positivo del eje $X$. Si en el punto $x = 0$ se cumple que en el instante inicial $t = 0\ \text{s}$ la elongación de la onda es máxima, determine:

a) La velocidad de propagación y el número de ondas. [0,5 puntos]

b) La función que representa dicha onda. [1 punto]

c) La velocidad máxima de oscilación de cualquier punto alcanzado por la onda. [0,5 puntos]

$\textbf{a) La velocidad de propagación y el número de ondas. [0,5 puntos]}$

La velocidad de propagación de una onda armónica es el producto de su longitud de onda por su frecuencia:

$v=\lambda\,f=2\cdot0{,}25$

$v=0{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El número de onda mide cuántos radianes de fase avanza la onda por metro:

$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{2}$

$k=\pi\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}=3{,}14\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$

$\textbf{b) La función que representa dicha onda. [1 punto]}$



La onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, de modo que su función depende de $(\omega t-kx)$. La frecuencia angular es:

$\omega=2\pi f=2\pi\cdot0{,}25=\frac{\pi}{2}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}=1{,}57\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

La condición inicial dice que en $x=0$ y $t=0$ la elongación es máxima, lo que corresponde a una función coseno sin desfase:

$y(0,0)=A\Rightarrow y(x,t)=A\cos(\omega t-kx)$

$y(x,t)=0{,}5\cos\left(\frac{\pi}{2}t-\pi x\right)\ \text{m}$

con $x$ e $y$ en metros y $t$ en segundos.

$\textbf{c) La velocidad máxima de oscilación de cualquier punto alcanzado por la onda. [0,5 puntos]}$

La velocidad de oscilación es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\,\text{sen}(\omega t-kx)$

Su valor máximo se alcanza cuando el seno vale $\pm1$, es decir, al pasar el punto por la posición de equilibrio:

$v_{y,\text{máx}}=A\,\omega=0{,}5\cdot\frac{\pi}{2}$

$v_{y,\text{máx}}=0{,}785\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad máxima de oscilación es de $0{,}785\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. No debe confundirse con la velocidad de propagación, $0{,}5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$: una es la de los puntos del medio, que solo suben y bajan, y la otra la del avance de la perturbación.