Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Asturias · 2023

Dos hilos conductores rectilíneos de longitud indefinida y paralelos entre sí, que se hallan separados una distancia $d = 0{,}4\ \text{m}$, transportan sendas intensidades de corriente $I_1 = 1\ \text{A}$ e $I_2 = 3\,I_1$, circulando ambas en el mismo sentido. Determine, en los puntos del plano definido por ambos conductores:

a) El vector campo magnético $\vec{B}$ generado por los dos hilos conductores en el punto intermedio entre ambos, a la distancia $d/2$ de cada uno de ellos. [1 punto]

b) Los puntos en los que se anula el campo magnético $\vec{B}$ resultante. [1 punto]

Dato: $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$.

$\textbf{a) El vector campo magnético } \boldsymbol{\vec{B}}\textbf{ generado por los dos hilos conductores en el punto intermedio entre ambos, a la distancia } \boldsymbol{d/2}\textbf{ de cada uno de ellos. [1 punto]}$










El módulo del campo creado por un conductor rectilíneo indefinido viene dado por la ley de Biot-Savart:

$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Se toman los hilos verticales, con las dos corrientes en el sentido $+\vec{\jmath}$, y el punto medio a $d/2=0{,}2\ \text{m}$ de cada uno.





$B_1=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1}{2\pi\cdot0{,}2}=1{,}0\cdot10^{-6}\ \text{T}$

$B_2=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot3}{2\pi\cdot0{,}2}=3{,}0\cdot10^{-6}\ \text{T}$

Por la regla de la mano derecha, el punto medio queda a la derecha del primer hilo, de modo que $\vec B_1$ es entrante en el plano, y a la izquierda del segundo, con lo que $\vec B_2$ es saliente. Al ser opuestos, se restan:

$\vec B=\vec B_1+\vec B_2=-1{,}0\cdot10^{-6}\,\vec k+3{,}0\cdot10^{-6}\,\vec k$

$\vec B=2{,}0\cdot10^{-6}\,\vec k\ \text{T}$

El campo resultante en el punto medio tiene módulo $2\ \mu\text{T}$, es perpendicular al plano de los conductores y sale de él, en el sentido que marca el hilo de mayor intensidad.

$\textbf{b) Los puntos en los que se anula el campo magnético } \boldsymbol{\vec{B}}\textbf{ resultante. [1 punto]}$

Con las dos corrientes en el mismo sentido, los campos solo se oponen en la región comprendida entre los hilos; fuera de ella llevan el mismo sentido y no pueden cancelarse. Además, como los módulos son inversamente proporcionales a la distancia, el punto de campo nulo tiene que estar más cerca del hilo de menor intensidad.

Llamando $x$ a la distancia al primer hilo, la distancia al segundo es $0{,}4-x$:

$\frac{\mu_0 I_1}{2\pi\,x}=\frac{\mu_0 I_2}{2\pi\,(0{,}4-x)}\Rightarrow \frac{1}{x}=\frac{3}{0{,}4-x}$

$0{,}4-x=3x\Rightarrow x=0{,}1\ \text{m}$

El campo magnético se anula en todos los puntos de la recta paralela a los dos conductores situada a $0{,}1\ \text{m}$ del primero y a $0{,}3\ \text{m}$ del segundo, dentro del plano que definen. Se comprueba: $B_1=2\cdot10^{-7}\cdot1/0{,}1=2\cdot10^{-6}\ \text{T}$ y $B_2=2\cdot10^{-7}\cdot3/0{,}3=2\cdot10^{-6}\ \text{T}$, iguales y opuestos.