Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2023

Dos cargas eléctricas iguales y con el mismo signo se encuentran situadas en los puntos del plano $XY$ de coordenadas $(2,2)\ \text{m}$ y $(-2,-2)\ \text{m}$, respectivamente. El campo eléctrico generado por ambas cargas en el punto $(1,1)\ \text{m}$ tiene un módulo $E = 8{,}1\cdot 10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$.

a) Calcule el valor de las cargas eléctricas y el vector campo eléctrico en el punto $(-1,-1)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo para llevar una carga de 5 nC desde el infinito hasta el punto $(-1,-1)\ \text{m}$. [0,5 puntos]

c) Indique el signo que debe tener la carga eléctrica si el trabajo para trasladarla hasta dicho punto desde el infinito lo realiza la fuerza del campo eléctrico. [0,5 puntos]

Dato: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Calcule el valor de las cargas eléctricas y el vector campo eléctrico en el punto } \boldsymbol{(-1,-1)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










Los dos puntos que interesan están sobre la recta que une las cargas, la bisectriz del primer y tercer cuadrantes, de modo que los dos campos son colineales y de sentidos opuestos.

Distancias desde $A\,(1,1)$:

$r_1=\sqrt{(2-1)^2+(2-1)^2}=\sqrt2\ \text{m}$

$r_2=\sqrt{(1+2)^2+(1+2)^2}=3\sqrt2\ \text{m}$





Al ser las dos cargas iguales y del mismo signo, sus campos en $A$ apuntan en sentidos contrarios y el módulo del campo total es la diferencia:

$E=K\frac{q}{r_1^2}-K\frac{q}{r_2^2}=K\,q\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{18}\right)=K\,q\cdot\frac{4}{9}$

$8{,}1\cdot10^{4}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot q\cdot\frac{4}{9}\Rightarrow q=\frac{8{,}1\cdot10^{4}}{4{,}0\cdot10^{9}}$

$q=2{,}025\cdot10^{-5}\ \text{C}=20{,}25\ \mu\text{C}$

El dato del enunciado fija el módulo de las cargas pero no su signo; se toman positivas, que es el caso en que el campo en $A$ se aleja de la carga más próxima.

El punto $(-1,-1)$ es el simétrico de $(1,1)$ respecto del origen, y la configuración de cargas también lo es. Por tanto el campo allí tiene el mismo módulo y el sentido opuesto, es decir, apunta hacia el tercer cuadrante alejándose de la carga de $(-2,-2)$:

$|\vec E|=8{,}1\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E=\frac{8{,}1\cdot10^{4}}{\sqrt2}\,(-1,-1)=(-5{,}73\cdot10^{4},\,-5{,}73\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\textbf{b) Calcule el trabajo para llevar una carga de 5 nC desde el infinito hasta el punto } \boldsymbol{(-1,-1)\ \text{m}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El potencial en el infinito es nulo, así que el trabajo de las fuerzas del campo es:

$W_{\infty\to B}=q_0\,(V_\infty-V_B)=-q_0\,V_B$

El potencial en $B\,(-1,-1)$ lo crean las dos cargas, que están a $3\sqrt2\ \text{m}$ y a $\sqrt2\ \text{m}$:

$V_B=K\,q\left(\frac{1}{3\sqrt2}+\frac{1}{\sqrt2}\right)=9{,}0\cdot10^{9}\cdot2{,}025\cdot10^{-5}\cdot0{,}943$

$V_B=1{,}72\cdot10^{5}\ \text{V}$

$W_{\infty\to B}=-5\cdot10^{-9}\cdot1{,}72\cdot10^{5}$

$W_{\infty\to B}=-8{,}59\cdot10^{-4}\ \text{J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo: acercar una carga positiva a otras dos positivas exige vencer la repulsión. Lo debe realizar un agente externo, aportando $8{,}59\cdot10^{-4}\ \text{J}$.

$\textbf{c) Indique el signo que debe tener la carga eléctrica si el trabajo para trasladarla hasta dicho punto desde el infinito lo realiza la fuerza del campo eléctrico. [0,5 puntos]}$

Para que sea el campo quien realiza el trabajo, este tiene que ser positivo:

$W_{\infty\to B}=-q_0\,V_B>0$

Como el potencial en $B$ es positivo, $V_B=1{,}72\cdot10^{5}\ \text{V}$, la desigualdad solo se cumple si

$q_0<0$

La carga trasladada debe ser negativa. Es lo esperable: una carga negativa es atraída por las dos cargas positivas del enunciado, se acerca a ellas espontáneamente y su energía potencial disminuye.