Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Una sonda espacial se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial de $25\ \text{km}/\text{s}$ desde la superficie de un planeta de masa $M_P = 3{,}25\cdot 10^{25}\ \text{kg}$ y con radio $R_P = 5{,}75\cdot 10^{6}\ \text{m}$.

a) Responda de forma justificada: ¿conseguirá escapar la sonda espacial de la atracción gravitatoria del planeta? [1 punto]

b) Determine el peso de la sonda en el instante del lanzamiento si la energía cinética que se le comunica es de $2\cdot 10^{12}\ \text{J}$. [1 punto]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Responda de forma justificada: ¿conseguirá escapar la sonda espacial de la atracción gravitatoria del planeta? [1 punto]}$










La sonda escapa si su velocidad de lanzamiento alcanza al menos la velocidad de escape, que es la que le permite llegar al infinito con velocidad nula. Imponiendo la conservación de la energía mecánica:

$-G\frac{M_P\,m}{R_P}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M_P}{R_P}}$





$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}25\cdot10^{25}}{5{,}75\cdot10^{6}}}$

$v_{\text{esc}}=2{,}75\cdot10^{4}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}=27{,}5\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$

La sonda se lanza con $25\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$, que es menor que los $27{,}5\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$ necesarios. Por tanto, no conseguirá escapar: su energía mecánica sigue siendo negativa, alcanzará una altura máxima finita y volverá a caer sobre el planeta.

$\textbf{b) Determine el peso de la sonda en el instante del lanzamiento si la energía cinética que se le comunica es de } \boldsymbol{2\cdot10^{12}\ \text{J}}\textbf{. [1 punto]}$

De la energía cinética comunicada y de la velocidad de lanzamiento se obtiene la masa de la sonda:

$E_c=\frac12\,m\,v_0^2\Rightarrow m=\frac{2\,E_c}{v_0^2}=\frac{2\cdot2\cdot10^{12}}{(2{,}5\cdot10^{4})^2}$

$m=6{,}4\cdot10^{3}\ \text{kg}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie del planeta es:

$g_0=G\frac{M_P}{R_P^2}=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}25\cdot10^{25}}{(5{,}75\cdot10^{6})^2}$

$g_0=65{,}6\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

Y el peso en el instante del lanzamiento, cuando la sonda está todavía sobre la superficie:

$P=m\,g_0=6{,}4\cdot10^{3}\cdot65{,}6$

$P=4{,}20\cdot10^{5}\ \text{N}$

La sonda pesa $4{,}20\cdot10^{5}\ \text{N}$ en el momento del lanzamiento. La gravedad de este planeta es casi siete veces la terrestre, lo que explica que su velocidad de escape sea tan alta.