Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

La Agencia Espacial Europea (ESA) pretende poner un satélite de 100 kg de masa en una órbita circular a 150 km de altura alrededor de la Tierra.

a) Obtenga la velocidad inicial mínima necesaria para que el satélite alcance dicha altura. [1 punto]

b) Una vez alcanzada esa altura, calcule la energía cinética que habría que proporcionarle al satélite para que se mantenga realizando una órbita circular alrededor de la Tierra. [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$.

$\textbf{a) Obtenga la velocidad inicial mínima necesaria para que el satélite alcance dicha altura. [1 punto]}$










La velocidad mínima para alcanzar una altura dada es la que hace que el satélite llegue allí justo con velocidad nula. Como la fuerza gravitatoria es conservativa y no actúa ninguna otra, se conserva la energía mecánica entre la superficie y el punto más alto:

$-G\frac{M_T\,m}{R_T}+\frac12\,m\,v_0^2=-G\frac{M_T\,m}{r}+0$

con $r=R_T+h=6{,}37\cdot10^{6}+1{,}5\cdot10^{5}=6{,}52\cdot10^{6}\ \text{m}$.





Simplificando la masa del satélite y despejando:

$\frac12\,v_0^2=G\,M_T\left(\frac{1}{R_T}-\frac{1}{r}\right)\Rightarrow v_0=\sqrt{2\,G\,M_T\left(\frac{1}{R_T}-\frac{1}{r}\right)}$

$v_0=\sqrt{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\left(\frac{1}{6{,}37\cdot10^{6}}-\frac{1}{6{,}52\cdot10^{6}}\right)}$

$v_0=1{,}70\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad inicial mínima es de $1{,}70\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$. Es mucho menor que la velocidad de escape porque el satélite no tiene que alejarse indefinidamente, solo subir $150\ \text{km}$.

$\textbf{b) Una vez alcanzada esa altura, calcule la energía cinética que habría que proporcionarle al satélite para que se mantenga realizando una órbita circular alrededor de la Tierra. [1 punto]}$

El satélite llega a la altura pedida con velocidad nula, de modo que hay que comunicarle exactamente la energía cinética que necesita para describir la órbita circular.

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta, y por la segunda ley de Newton:

$G\frac{M_T\,m}{r^2}=\frac{m\,v_{\text{orb}}^2}{r}\Rightarrow v_{\text{orb}}^2=\frac{G\,M_T}{r}$

Por tanto, la energía cinética orbital es:

$E_c=\frac12\,m\,v_{\text{orb}}^2=\frac{G\,M_T\,m}{2r}$

$E_c=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}\cdot100}{2\cdot6{,}52\cdot10^{6}}$

$E_c=3{,}05\cdot10^{9}\ \text{J}$

Hay que proporcionarle $3{,}05\cdot10^{9}\ \text{J}$, que corresponden a una velocidad orbital de $v_{\text{orb}}=\sqrt{2E_c/m}=7{,}81\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.