Ejercicio resuelto de Física moderna · Física · Asturias · 2023

El tenista australiano Samuel Groth ostenta el récord histórico conseguido en 2012 al impulsar una pelota de tenis durante el saque con una velocidad de $263\ \text{km}/\text{h}$. Si la masa de una pelota de tenis es de 58 g, determine:

a) La longitud de onda de De Broglie asociada a la pelota durante dicho saque. [1 punto]

b) Uno de los primeros sincrotrones, que aceleraba protones, fue el Bevatrón construido en el Laboratorio Nacional Brookhaven (Nueva York), que comenzó a operar en 1952, alcanzando una energía relativista de 3 GeV. ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzan dichos protones acelerados en el Bevatrón? [1 punto]

Datos: $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $c = 3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$; $m_{p^+} = 1{,}67\cdot 10^{-27}\ \text{kg}$; $|q_{e^-}| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) La longitud de onda de De Broglie asociada a la pelota durante dicho saque. [1 punto]}$

La hipótesis de De Broglie asocia a toda partícula material una longitud de onda inversamente proporcional a su cantidad de movimiento:

$\lambda=\frac{h}{p}=\frac{h}{m\,v}$

Se pasan primero los datos a unidades del Sistema Internacional:

$v=263\ \frac{\text{km}}{\text{h}}\cdot\frac{1\,000\ \text{m}}{1\ \text{km}}\cdot\frac{1\ \text{h}}{3\,600\ \text{s}}=73{,}06\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$m=58\ \text{g}=0{,}058\ \text{kg}$

$\lambda=\frac{6{,}63\cdot10^{-34}}{0{,}058\cdot73{,}06}$

$\lambda=1{,}56\cdot10^{-34}\ \text{m}$

La longitud de onda asociada a la pelota es de $1{,}56\cdot10^{-34}\ \text{m}$, unas veinte órdenes de magnitud menor que el tamaño de un núcleo atómico. Por eso el comportamiento ondulatorio de los objetos macroscópicos es inobservable.

$\textbf{b) Uno de los primeros sincrotrones, que aceleraba protones, fue el Bevatrón construido en el Laboratorio Nacional Brookhaven (Nueva York), que comenzó a operar en 1952, alcanzando una energía relativista de 3 GeV. ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzan dichos protones acelerados en el Bevatrón? [1 punto]}$

La energía total de una partícula relativista es el producto del factor de Lorentz por su energía en reposo:

$E=\gamma\,m_{p^+}c^2$

Se calcula primero la energía en reposo del protón:

$E_0=m_{p^+}c^2=1{,}67\cdot10^{-27}\cdot(3{,}0\cdot10^{8})^2=1{,}50\cdot10^{-10}\ \text{J}$

$E_0=\frac{1{,}50\cdot10^{-10}}{1{,}6\cdot10^{-19}}=9{,}39\cdot10^{8}\ \text{eV}=0{,}939\ \text{GeV}$

De donde el factor de Lorentz:

$\gamma=\frac{E}{E_0}=\frac{3}{0{,}939}=3{,}19$

Y despejando la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow \frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}$

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{3{,}19^2}}=0{,}950$

$v=0{,}950\cdot3{,}0\cdot10^{8}=2{,}85\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Los protones alcanzan $2{,}85\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, el $95\,\%$ de la velocidad de la luz.