Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2023

Una onda transversal se propaga en el sentido positivo del eje $X$ con una velocidad de propagación de $3/4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, según la ecuación $y(x,t) = A\,\text{sen}\,(kx - \omega t + \varphi)$. En el instante $t = 1\ \text{s}$, el punto situado en $x = 1\ \text{m}$ tiene una aceleración de $27\pi^2\ \text{cm}\cdot\text{s}^{-2}$ y una elongación de $-3\ \text{cm}$. Además, en el instante $t = 0\ \text{s}$ el punto situado en $x = 0$ tiene la máxima elongación, $y(0,0) = 3\ \text{cm}$. Determine:

a) La frecuencia angular, el número de onda, la amplitud y la fase inicial de la onda. [1 punto]

b) La velocidad de vibración de un punto del medio en el que se propaga la onda, situado a 25 cm del foco emisor, en el instante $t = 2\ \text{s}$. [1 punto]

$\textbf{a) La frecuencia angular, el número de onda, la amplitud y la fase inicial de la onda. [1 punto]}$

En un movimiento armónico simple la aceleración es proporcional y opuesta a la elongación:

$a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2\,y$

Con los dos datos del instante $t=1\ \text{s}$ en el punto $x=1\ \text{m}$ se despeja la frecuencia angular:

$27\pi^2\cdot10^{-2}=-\omega^2\cdot(-3\cdot10^{-2})\Rightarrow \omega^2=\frac{0{,}27\pi^2}{0{,}03}=9\pi^2$

$\omega=3\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

El número de onda sale de la velocidad de propagación:

$v=\frac{\omega}{k}\Rightarrow k=\frac{\omega}{v}=\frac{3\pi}{3/4}=4\pi\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$

de donde $\lambda=2\pi/k=0{,}5\ \text{m}$ y $f=\omega/2\pi=1{,}5\ \text{Hz}$.

La amplitud y la fase inicial se obtienen de la condición sobre el origen en el instante inicial. Que $y(0,0)$ sea la máxima elongación exige que el seno valga la unidad y que esa elongación sea la amplitud:

$y(0,0)=A\,\text{sen}\,\varphi=3\ \text{cm}\Rightarrow A=3\ \text{cm}=0{,}03\ \text{m}$

$\text{sen}\,\varphi=1\Rightarrow \varphi=\frac{\pi}{2}\ \text{rad}$

La función de onda queda:

$y(x,t)=0{,}03\,\text{sen}\left(4\pi x-3\pi t+\frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

Se comprueba con el dato del enunciado: para $x=1\ \text{m}$ y $t=1\ \text{s}$ la fase vale $4\pi-3\pi+\pi/2=3\pi/2$ y la elongación es $y=0{,}03\cdot(-1)=-3\ \text{cm}$, tal y como decía el enunciado.

$\textbf{b) La velocidad de vibración de un punto del medio en el que se propaga la onda, situado a 25 cm del foco emisor, en el instante } \boldsymbol{t = 2\ \text{s}}\textbf{. [1 punto]}$

La velocidad de vibración es la derivada de la elongación respecto del tiempo:

$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=-A\,\omega\cos\left(4\pi x-3\pi t+\frac{\pi}{2}\right)$

$v_y=-0{,}03\cdot3\pi\cos\left(4\pi x-3\pi t+\frac{\pi}{2}\right)=-0{,}09\pi\cos\left(4\pi x-3\pi t+\frac{\pi}{2}\right)$

Sustituyendo $x=0{,}25\ \text{m}$ y $t=2\ \text{s}$, la fase vale:

$4\pi\cdot0{,}25-3\pi\cdot2+\frac{\pi}{2}=\pi-6\pi+\frac{\pi}{2}=-\frac{9\pi}{2}$

$v_y=-0{,}09\pi\cos\left(-\frac{9\pi}{2}\right)=-0{,}09\pi\cdot0$

$v_y=0\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de vibración de ese punto es nula en ese instante. Se entiende mirando la elongación: $y=0{,}03\,\text{sen}(-9\pi/2)=-0{,}03\ \text{m}$, es decir, el punto está justo en el extremo inferior de su oscilación, donde invierte el sentido del movimiento y su velocidad se anula, aunque la aceleración sea allí máxima.