Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2023

Dos cargas eléctricas positivas de igual valor $+q = 3\ \mu\text{C}$ se colocan en los puntos del eje vertical $OY$ de coordenadas $(0,1)\ \text{m}$ y $(0,-1)\ \text{m}$, respectivamente.

a) Determine el valor del campo eléctrico en el punto de coordenadas $(1,0)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo que se debe realizar para llevar una partícula de carga positiva $+q_0 = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$ desde el punto $(1,0)\ \text{m}$ hasta el origen de coordenadas. ¿Dicho trabajo lo realizan las fuerzas del campo eléctrico o fuerzas externas? Justifique la respuesta. [1 punto]

Dato: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine el valor del campo eléctrico en el punto de coordenadas } \boldsymbol{(1,0)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$, y al ser las dos cargas positivas los dos campos se alejan de ellas.

El punto $P\,(1,0)$ está sobre la mediatriz del segmento que une las cargas, y equidista de ambas:

$r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\ \text{m}\Rightarrow r^2=2\ \text{m}^2$





Los dos campos tienen, por tanto, el mismo módulo:

$E_1=E_2=K\frac{q}{r^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{3\cdot10^{-6}}{2}=1{,}35\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Cada uno forma $45^\circ$ con el eje $X$, uno por encima y otro por debajo. Las componentes verticales son opuestas y se cancelan; las horizontales se suman:

$E_P=2\,E_1\cos45^\circ=2\cdot1{,}35\cdot10^{4}\cdot\frac{\sqrt2}{2}$

$E_P=1{,}91\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

El campo en el punto $(1,0)$ tiene módulo $1{,}91\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$, dirección la del eje $X$ y sentido positivo, es decir, alejándose del dipolo.

$\textbf{b) Calcule el trabajo que se debe realizar para llevar una partícula de carga positiva } \boldsymbol{+q_0 = 1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{(1,0)\ \text{m}}\textbf{ hasta el origen de coordenadas. ¿Dicho trabajo lo realizan las fuerzas del campo eléctrico o fuerzas externas? Justifique la respuesta. [1 punto]}$

El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales inicial y final:

$W_{P\to O}=q_0\,(V_P-V_O)$

El potencial es escalar y las dos cargas contribuyen con el mismo signo. En $P\,(1,0)$ las dos distancias valen $\sqrt2\ \text{m}$:

$V_P=2\,K\frac{q}{\sqrt2}=2\cdot9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{3\cdot10^{-6}}{\sqrt2}=3{,}82\cdot10^{4}\ \text{V}$

En el origen las dos distancias valen $1\ \text{m}$:

$V_O=2\,K\frac{q}{1}=2\cdot9{,}0\cdot10^{9}\cdot3\cdot10^{-6}=5{,}4\cdot10^{4}\ \text{V}$

Sustituyendo:

$W_{P\to O}=1{,}6\cdot10^{-19}\cdot\left(3{,}82\cdot10^{4}-5{,}4\cdot10^{4}\right)$

$W_{P\to O}=-2{,}53\cdot10^{-15}\ \text{J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo: la carga es positiva y se lleva desde un punto de menor potencial hasta otro de mayor potencial, contra la repulsión de las dos cargas del enunciado. El desplazamiento no es espontáneo, así que lo tienen que realizar fuerzas externas, que aportan

$W_{\text{ext}}=+2{,}53\cdot10^{-15}\ \text{J}$