Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Un satélite artificial de 1 500 kg de masa describe una órbita de trayectoria circular en torno a la Tierra con un radio de $3{,}5\cdot 10^{4}\ \text{m}$. Calcule:

a) ¿Cuál es el valor de la gravedad a dicha altura? [1 punto]

b) ¿Con qué velocidad angular viaja el satélite? [0,5 puntos]

c) La relación del peso del satélite en un punto de la órbita respecto a su peso en la superficie de la Tierra. [0,5 puntos]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$; $R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$.

$\textbf{a) ¿Cuál es el valor de la gravedad a dicha altura? [1 punto]}$










La intensidad del campo gravitatorio creado por la Tierra a una distancia $r$ de su centro es:

$g=G\frac{M_T}{r^2}$

El enunciado da directamente el radio de la órbita, $r=3{,}5\cdot10^{4}\ \text{m}$, que es la distancia al centro de la Tierra.





$g=\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{(3{,}5\cdot10^{4})^2}=\frac{3{,}98\cdot10^{14}}{1{,}225\cdot10^{9}}$

$g=3{,}25\cdot10^{5}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

$\textbf{b) ¿Con qué velocidad angular viaja el satélite? [0,5 puntos]}$

En una órbita circular la fuerza gravitatoria es la fuerza centrípeta. Aplicando la segunda ley de Newton con la aceleración centrípeta escrita en función de la velocidad angular:

$G\frac{M_T\,m}{r^2}=m\,\omega^2\,r\Rightarrow \omega=\sqrt{\frac{G\,M_T}{r^3}}$

$\omega=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot5{,}97\cdot10^{24}}{(3{,}5\cdot10^{4})^3}}=\sqrt{\frac{3{,}98\cdot10^{14}}{4{,}29\cdot10^{13}}}$

$\omega=3{,}05\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad angular no depende de la masa del satélite, que se simplifica en la ecuación.

$\textbf{c) La relación del peso del satélite en un punto de la órbita respecto a su peso en la superficie de la Tierra. [0,5 puntos]}$

El peso es el producto de la masa por la intensidad del campo, y la masa del satélite es la misma en los dos sitios, así que la relación de pesos es la relación de gravedades:

$\frac{P_r}{P_0}=\frac{m\,g_r}{m\,g_0}=\frac{G\,M_T/r^2}{G\,M_T/R_T^2}=\left(\frac{R_T}{r}\right)^2$

$\frac{P_r}{P_0}=\left(\frac{6{,}37\cdot10^{6}}{3{,}5\cdot10^{4}}\right)^2=(182)^2$

$\frac{P_r}{P_0}=3{,}31\cdot10^{4}$

El satélite pesaría en la órbita unas $33\,100$ veces más que en la superficie terrestre. El resultado, igual que la gravedad del apartado a), es consecuencia de que el radio orbital que da el enunciado, $3{,}5\cdot10^{4}\ \text{m}$, es unas $182$ veces menor que el radio de la Tierra: el punto quedaría dentro del planeta y no puede corresponder a ninguna órbita real. Los cálculos se han hecho, como es obligado, con el dato tal y como aparece en el enunciado.