Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2023

Dos partículas puntuales con masas $m_1 = 5\ \text{kg}$ y $m_2 = 20\ \text{kg}$ se hallan situadas a lo largo del eje $X$. La partícula de masa $m_1$ se encuentra en el origen de coordenadas, $x_1 = 0$, mientras que la masa $m_2$ está en el punto $x_2 = 6\ \text{m}$.

a) Determine el punto del eje $X$ en el que se anula el campo gravitatorio. [1 punto]

b) Calcule el potencial gravitatorio debido al sistema de masas en los puntos del eje $X$ situados en las coordenadas $x_A = -1\ \text{m}$ y $x_B = 7\ \text{m}$. [1 punto]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine el punto del eje } \boldsymbol{X}\textbf{ en el que se anula el campo gravitatorio. [1 punto]}$

El campo gravitatorio creado por una masa puntual es $\vec g=-G\dfrac{m}{r^2}\,\vec u_r$ y siempre apunta hacia la masa que lo crea. Por el principio de superposición, el campo total es la suma de los dos.

Para que se anulen tienen que ser opuestos, y eso solo ocurre en el segmento comprendido entre las dos partículas: a la izquierda de $m_1$ los dos campos apuntan hacia la derecha y a la derecha de $m_2$ los dos apuntan hacia la izquierda, de modo que en esas regiones nunca pueden cancelarse.



Llamando $x$ a la distancia desde $m_1$, la condición de campo nulo es:

$G\frac{m_1}{x^2}=G\frac{m_2}{(6-x)^2}$

$\frac{5}{x^2}=\frac{20}{(6-x)^2}\Rightarrow (6-x)^2=4x^2$

$6-x=2x\Rightarrow x=2\ \text{m}$

Se descarta la raíz $6-x=-2x$, que da $x=-6\ \text{m}$, por caer fuera del segmento.

El campo gravitatorio se anula en el punto $(2,0)\ \text{m}$, a $2\ \text{m}$ de la masa pequeña y a $4\ \text{m}$ de la grande.

$\textbf{b) Calcule el potencial gravitatorio debido al sistema de masas en los puntos del eje } \boldsymbol{X}\textbf{ situados en las coordenadas } \boldsymbol{x_A = -1\ \text{m}}\textbf{ y } \boldsymbol{x_B = 7\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$

El potencial gravitatorio es una magnitud escalar, así que las contribuciones de las dos masas se suman directamente:

$V=-G\frac{m_1}{r_1}-G\frac{m_2}{r_2}$

En el punto $x_A=-1\ \text{m}$ las distancias son $r_1=1\ \text{m}$ y $r_2=7\ \text{m}$:

$V_A=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{1}+\frac{20}{7}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot7{,}86$

$V_A=-5{,}24\cdot10^{-10}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

En el punto $x_B=7\ \text{m}$ las distancias son $r_1=7\ \text{m}$ y $r_2=1\ \text{m}$:

$V_B=-6{,}67\cdot10^{-11}\left(\frac{5}{7}+\frac{20}{1}\right)=-6{,}67\cdot10^{-11}\cdot20{,}71$

$V_B=-1{,}38\cdot10^{-9}\ \text{J}\cdot\text{kg}^{-1}$

Los dos potenciales son negativos, como corresponde a un campo solo atractivo con el origen de potenciales en el infinito. El de $B$ es más negativo porque ese punto está mucho más cerca de la masa grande, que es la que domina.