Ejercicio resuelto de Física nuclear · Física · Asturias · 2024

En un laboratorio de medicina nuclear hay una masa inicial de 20 mg del isótopo ${}^{131}\text{I}$, cuyo período de semidesintegración es de $8{,}02$ días y su masa atómica de 131 u. Determine:

a) la vida media del isótopo. [0,5 puntos]

b) la relación entre la actividad inicial de la muestra y su actividad al cabo de 1 mes. [0,5 puntos]

c) el tiempo transcurrido para que el contenido de ${}^{131}\text{I}$ de la muestra se reduzca a 2 mg. [1 punto]

Dato: $N_A = 6{,}02\cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$.

$\textbf{a) la vida media del isótopo. [0,5 puntos]}$










La ley de desintegración radiactiva establece que el número de núcleos sin desintegrar decrece exponencialmente:

$N=N_0\,e^{-\lambda t}$

El período de semidesintegración es el tiempo que tarda la muestra en reducirse a la mitad, y la vida media es la inversa de la constante de desintegración:

$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\Rightarrow \lambda=\frac{\ln 2}{8{,}02}=8{,}64\cdot10^{-2}\ \text{días}^{-1}$





$\tau=\frac{1}{\lambda}=\frac{8{,}02}{\ln 2}=11{,}6\ \text{días}$

La vida media del ${}^{131}\text{I}$ es de $11{,}6$ días.

$\textbf{b) la relación entre la actividad inicial de la muestra y su actividad al cabo de 1 mes. [0,5 puntos]}$

La actividad es proporcional al número de núcleos presentes, $A=\lambda N$, de modo que decae con la misma ley exponencial:

$A=A_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow \frac{A_0}{A}=e^{\lambda t}$

Tomando un mes como $30$ días:

$\frac{A_0}{A}=e^{8{,}64\cdot10^{-2}\cdot30}=e^{2{,}59}=13{,}4$

Al cabo de un mes la actividad de la muestra es $13{,}4$ veces menor que la inicial, es decir, se ha reducido a un $7{,}5\,\%$ de su valor.

$\textbf{c) el tiempo transcurrido para que el contenido de } \boldsymbol{{}^{131}\text{I}}\textbf{ de la muestra se reduzca a 2 mg. [1 punto]}$

La masa es proporcional al número de núcleos, así que sigue la misma ley exponencial:

$m=m_0\,e^{-\lambda t}\Rightarrow 2=20\,e^{-\lambda t}$

$e^{-\lambda t}=\frac{1}{10}\Rightarrow \lambda t=\ln 10$

$t=\frac{\ln 10}{\lambda}=\frac{\ln 10}{8{,}64\cdot10^{-2}}$

$t=26{,}6\ \text{días}$

Deben transcurrir $26{,}6$ días para que queden $2\ \text{mg}$ del isótopo. El resultado es coherente con el período de semidesintegración: en $26{,}6$ días caben algo más de tres períodos, y $2^{3{,}32}=10$.