Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2024

Una onda transversal se propaga por una cuerda tensa según el sentido positivo del eje $X$ con una velocidad de $5\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. En el instante inicial la elongación es nula en el origen de coordenadas y su velocidad de oscilación de $20\pi\ \text{cm}\cdot\text{s}^{-1}$ en sentido positivo. Si la distancia de separación mínima entre dos puntos de la cuerda que oscilan en fase es de 40 cm, calcule:

a) la amplitud, la frecuencia y la expresión matemática de la onda. [1 punto]

b) el valor máximo de la aceleración transversal de los puntos de la cuerda, indicando en qué instante alcanza ese valor por primera vez la aceleración de un punto situado a un cuarto de longitud de onda a la derecha del origen de coordenadas. [1 punto]

$\textbf{a) la amplitud, la frecuencia y la expresión matemática de la onda. [1 punto]}$

La distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase es, por definición, la longitud de onda:

$\lambda=40\ \text{cm}=0{,}40\ \text{m}$

Con la velocidad de propagación se obtienen la frecuencia, la frecuencia angular y el número de onda:

$v=\lambda f\Rightarrow f=\frac{v}{\lambda}=\frac{5}{0{,}40}=12{,}5\ \text{Hz}$

$\omega=2\pi f=25\pi\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}=78{,}5\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

$k=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi}{0{,}40}=5\pi\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}=15{,}7\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$

En el instante inicial la elongación del origen es nula, así que ese punto pasa por la posición de equilibrio y su velocidad de oscilación es, en ese momento, la máxima:

$v_{y,\text{máx}}=A\,\omega\Rightarrow A=\frac{v_{y,\text{máx}}}{\omega}=\frac{0{,}2\pi}{25\pi}$

$A=8\cdot10^{-3}\ \text{m}=8\ \text{mm}$

La onda avanza en el sentido positivo del eje $X$, y como en el origen y en el instante inicial la elongación es nula con velocidad positiva, la fase inicial es nula:

$y(0,0)=A\,\text{sen}\,\varphi_0=0\ \text{y}\ v_y(0,0)=A\omega\cos\varphi_0>0\Rightarrow \varphi_0=0$

$y(x,t)=8\cdot10^{-3}\,\text{sen}\,(25\pi t-5\pi x)\ \text{m}$

$\textbf{b) el valor máximo de la aceleración transversal de los puntos de la cuerda, indicando en qué instante alcanza ese valor por primera vez la aceleración de un punto situado a un cuarto de longitud de onda a la derecha del origen de coordenadas. [1 punto]}$

La aceleración transversal es la segunda derivada de la elongación respecto del tiempo:

$a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-A\,\omega^2\,\text{sen}\,(\omega t-kx)=-\omega^2\,y$

Su valor máximo se alcanza en los extremos de la oscilación, donde $|y|=A$:

$a_{\text{máx}}=A\,\omega^2=8\cdot10^{-3}\cdot(25\pi)^2$

$a_{\text{máx}}=49{,}3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

El punto pedido está en $x=\lambda/4=0{,}10\ \text{m}$, y su fase es:

$\omega t-k\,x=25\pi t-5\pi\cdot0{,}10=25\pi t-\frac{\pi}{2}$

En el instante inicial esa fase vale $-\pi/2$, de modo que $\text{sen}(-\pi/2)=-1$ y ese punto está ya en el extremo inferior de su oscilación:

$y\left(0{,}10,\,0\right)=-A\qquad a_y\left(0{,}10,\,0\right)=+A\,\omega^2=49{,}3\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

Es decir, la aceleración de ese punto alcanza su valor máximo ya en $t=0\ \text{s}$: la perturbación tarda un cuarto de período en recorrer un cuarto de longitud de onda, y en ese instante el punto reproduce lo que hacía el origen un cuarto de período antes.

El siguiente instante en que su aceleración vuelve a tener ese módulo máximo, ahora dirigido hacia abajo, es medio período después:

$25\pi t-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}\Rightarrow t=\frac{1}{25}=0{,}04\ \text{s}$

que en efecto coincide con $T/2=1/(2\cdot12{,}5)=0{,}04\ \text{s}$.