Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2024

Tres cargas eléctricas puntuales se encuentran situadas en los vértices de un triángulo, dos de ellas con carga $-q$ colocadas en los puntos $A\,(1,0)\ \text{m}$ y $B\,(0,1)\ \text{m}$, respectivamente, mientras que la tercera carga tiene un valor $+2q$ y se encuentra situada en el origen $O\,(0,0)$, siendo $q = 10^{-6}\ \text{C}$.

a) Determine el campo eléctrico resultante en el punto $C\,(1/2,\,1/2)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el trabajo necesario para trasladar una carga $+q$ desde el punto $C\,(1/2,\,1/2)\ \text{m}$ hasta el punto $D\,(1,1)\ \text{m}$. Justifique quién realiza dicho trabajo. [1 punto]

Dato: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Determine el campo eléctrico resultante en el punto } \boldsymbol{C\,(1/2,\,1/2)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$ y, por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los tres.

El punto $C$ es el punto medio del segmento $AB$, y equidista de las tres cargas:

$r=\sqrt{\left(\tfrac12\right)^2+\left(\tfrac12\right)^2}=\frac{\sqrt2}{2}\ \text{m}\Rightarrow r^2=\frac12\ \text{m}^2$





Campo de la carga $+2q$ situada en el origen, que se aleja de ella:

$E_O=K\frac{2q}{r^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{2\cdot10^{-6}}{0{,}5}=3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E_O=3{,}6\cdot10^{4}\cdot\frac{(1,1)}{\sqrt2}=(2{,}55\cdot10^{4},\,2{,}55\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Campos de las dos cargas $-q$, que apuntan hacia cada una de ellas:

$E_A=E_B=K\frac{q}{r^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{10^{-6}}{0{,}5}=1{,}8\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E_A=1{,}8\cdot10^{4}\cdot\frac{(1,-1)}{\sqrt2}=(1{,}27\cdot10^{4},\,-1{,}27\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E_B=1{,}8\cdot10^{4}\cdot\frac{(-1,1)}{\sqrt2}=(-1{,}27\cdot10^{4},\,1{,}27\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Las cargas de $A$ y $B$ son iguales y están colocadas simétricamente respecto de $C$, así que sus campos son opuestos y se cancelan:

$\vec E_C=\vec E_O+\vec E_A+\vec E_B=\vec E_O=(2{,}55\cdot10^{4},\,2{,}55\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$|\vec E_C|=3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

El campo resultante en $C$ tiene módulo $3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$ y está dirigido según la bisectriz del primer cuadrante, alejándose de la carga positiva.

$\textbf{b) Calcule el trabajo necesario para trasladar una carga } \boldsymbol{+q}\textbf{ desde el punto } \boldsymbol{C\,(1/2,\,1/2)\ \text{m}}\textbf{ hasta el punto } \boldsymbol{D\,(1,1)\ \text{m}}\textbf{. Justifique quién realiza dicho trabajo. [1 punto]}$

El campo eléctrico es conservativo y el trabajo de sus fuerzas solo depende de los potenciales de los puntos inicial y final:

$W_{C\to D}=q\,(V_C-V_D)$

En $C$ las tres cargas están a la misma distancia, de modo que el potencial se anula:

$V_C=\frac{K}{\sqrt2/2}\left(2q-q-q\right)=0\ \text{V}$

En $D\,(1,1)$ las distancias son $r_{OD}=\sqrt2\ \text{m}$ y $r_{AD}=r_{BD}=1\ \text{m}$:

$V_D=9{,}0\cdot10^{9}\left(\frac{2\cdot10^{-6}}{\sqrt2}-\frac{10^{-6}}{1}-\frac{10^{-6}}{1}\right)$

$V_D=9{,}0\cdot10^{9}\cdot(-5{,}86\cdot10^{-7})=-5{,}27\cdot10^{3}\ \text{V}$

Sustituyendo:

$W_{C\to D}=10^{-6}\cdot\left(0-(-5{,}27\cdot10^{3})\right)=5{,}27\cdot10^{-3}\ \text{J}$

El trabajo es positivo, así que lo realiza el propio campo eléctrico del sistema de cargas: la carga positiva se desplaza espontáneamente desde $C$ hasta $D$, que es un punto de menor potencial, y su energía potencial disminuye en $5{,}27\cdot10^{-3}\ \text{J}$.