Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

Un satélite artificial de 800 kg de masa orbita alrededor de un planeta describiendo una trayectoria circular a una altura de 12 000 km medida desde su superficie. El planeta tiene un radio $R_P = 2{,}56\cdot 10^{6}\ \text{m}$ y su masa es $M_P = 8{,}45\cdot 10^{22}\ \text{kg}$. Si el satélite se lanza desde la superficie de dicho planeta, calcule:

a) la energía cinética que se debe proporcionar al satélite en la superficie del planeta para situarlo en la órbita. [1 punto]

b) la velocidad mínima que habría que suministrar al satélite una vez en órbita, para que escape de la atracción gravitatoria del planeta desde un punto cualquiera de la órbita circular actual. [1 punto]

Dato: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$.

$\textbf{a) la energía cinética que se debe proporcionar al satélite en la superficie del planeta para situarlo en la órbita. [1 punto]}$










El radio de la órbita se mide desde el centro del planeta:

$r=R_P+h=2{,}56\cdot10^{6}+1{,}2\cdot10^{7}=1{,}456\cdot10^{7}\ \text{m}$

La energía mecánica de un satélite en órbita circular es la mitad de su energía potencial, porque en la órbita la fuerza gravitatoria es la centrípeta:

$G\frac{M_P\,m}{r^2}=\frac{m\,v^2}{r}\Rightarrow E_c=\frac12\,m\,v^2=\frac{G\,M_P\,m}{2r}$





$E_{\text{órbita}}=E_c+E_p=\frac{G\,M_P\,m}{2r}-\frac{G\,M_P\,m}{r}=-\frac{G\,M_P\,m}{2r}$

$E_{\text{órbita}}=-\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}45\cdot10^{22}\cdot800}{2\cdot1{,}456\cdot10^{7}}=-1{,}55\cdot10^{8}\ \text{J}$

En la superficie el satélite está en reposo, de modo que toda su energía es potencial:

$E_{\text{superficie}}=-\frac{G\,M_P\,m}{R_P}=-\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}45\cdot10^{22}\cdot800}{2{,}56\cdot10^{6}}$

$E_{\text{superficie}}=-1{,}76\cdot10^{9}\ \text{J}$

La energía cinética que hay que comunicarle es la diferencia entre las dos energías mecánicas:

$E_c^{\,\text{aportada}}=E_{\text{órbita}}-E_{\text{superficie}}=-1{,}55\cdot10^{8}+1{,}76\cdot10^{9}$

$E_c^{\,\text{aportada}}=1{,}61\cdot10^{9}\ \text{J}$

Hay que proporcionar al satélite $1{,}61\cdot10^{9}\ \text{J}$ en la superficie del planeta.

$\textbf{b) la velocidad mínima que habría que suministrar al satélite una vez en órbita, para que escape de la atracción gravitatoria del planeta desde un punto cualquiera de la órbita circular actual. [1 punto]}$

Escapar significa llegar al infinito con velocidad nula, es decir, tener energía mecánica cero. Como el campo es conservativo:

$-G\frac{M_P\,m}{r}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M_P}{r}}$

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}45\cdot10^{22}}{1{,}456\cdot10^{7}}}=8{,}80\cdot10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

Pero el satélite no está en reposo: ya recorre la órbita con la velocidad orbital

$v_{\text{orb}}=\sqrt{\frac{G\,M_P}{r}}=\sqrt{\frac{6{,}67\cdot10^{-11}\cdot8{,}45\cdot10^{22}}{1{,}456\cdot10^{7}}}=6{,}22\cdot10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

de manera que la velocidad que hay que suministrarle es el incremento necesario para pasar de una a otra:

$\Delta v=v_{\text{esc}}-v_{\text{orb}}=880-622=2{,}58\cdot10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de escape desde la órbita es de $8{,}80\cdot10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, y basta suministrar al satélite un incremento de $2{,}58\cdot10^{2}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$ sobre la velocidad que ya lleva. Obsérvese que la velocidad de escape es $\sqrt2$ veces la orbital, sea cual sea el radio de la órbita.