Ejercicio resuelto de Física relativista · Física · 2024

Un electrón relativista adquiere una energía cinética equivalente a la energía de un fotón con una longitud de onda en el vacío de $6\cdot 10^{-12}\ \text{m}$. Calcule:

a) la energía cinética del electrón, en eV. [1 punto]

b) la velocidad del electrón. [1 punto]

Datos: $h = 6{,}63\cdot 10^{-34}\ \text{J}\cdot\text{s}$; $c = 3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$; $m_{e^-} = 9{,}11\cdot 10^{-31}\ \text{kg}$; $|q_{e^-}| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) la energía cinética del electrón, en eV. [1 punto]}$

La energía de un fotón depende solo de su frecuencia, o de su longitud de onda en el vacío:

$E=h\,f=h\frac{c}{\lambda}$

$E=6{,}63\cdot10^{-34}\cdot\frac{3{,}0\cdot10^{8}}{6\cdot10^{-12}}=3{,}315\cdot10^{-14}\ \text{J}$

El enunciado dice que la energía cinética del electrón es equivalente a esa energía, de modo que:

$E_c=3{,}315\cdot10^{-14}\ \text{J}\cdot\frac{1\ \text{eV}}{1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{J}}$

$E_c=2{,}07\cdot10^{5}\ \text{eV}=207\ \text{keV}$

La energía cinética del electrón es de $2{,}07\cdot10^{5}\ \text{eV}$. Se trata de un fotón de rayos X duros.

$\textbf{b) la velocidad del electrón. [1 punto]}$

Esa energía cinética es del orden de la energía en reposo del electrón, así que no puede usarse la expresión clásica $E_c=\frac12mv^2$ y hay que aplicar la mecánica relativista. La energía cinética relativista es la diferencia entre la energía total y la energía en reposo:

$E_c=(\gamma-1)\,m_{e^-}c^2$

Se calcula primero la energía en reposo del electrón:

$E_0=m_{e^-}c^2=9{,}11\cdot10^{-31}\cdot(3{,}0\cdot10^{8})^2=8{,}20\cdot10^{-14}\ \text{J}$

$E_0=5{,}12\cdot10^{5}\ \text{eV}$

Y de ahí el factor de Lorentz:

$\gamma=1+\frac{E_c}{m_{e^-}c^2}=1+\frac{3{,}315\cdot10^{-14}}{8{,}20\cdot10^{-14}}=1{,}404$

Por último se despeja la velocidad de la definición del factor de Lorentz:

$\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}\Rightarrow \frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{\gamma^2}}$

$\frac{v}{c}=\sqrt{1-\frac{1}{1{,}404^2}}=0{,}702$

$v=0{,}702\cdot3{,}0\cdot10^{8}=2{,}11\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

El electrón viaja a $2{,}11\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, un $70\,\%$ de la velocidad de la luz.