Ejercicio resuelto de Óptica · Física · Asturias · 2024

Un rayo de luz monocromático se propaga por el aire con una frecuencia de $3{,}75\cdot 10^{14}\ \text{Hz}$ y atraviesa un medio de índice de refracción $n_2 = 1{,}45$.

a) Calcule la longitud de onda del rayo cuando se propaga por el aire. [0,5 puntos]

b) Determine la frecuencia y la longitud de onda del rayo cuando se propaga por el segundo medio. [1 punto]

c) ¿Con qué ángulo deberá incidir el rayo cuando viaja por el segundo medio al volver a cambiar de medio al aire, para que se obtenga reflexión total? [0,5 puntos]

Datos: $c = 3{,}0\cdot 10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$; $n_{\text{aire}} = 1$.

$\textbf{a) Calcule la longitud de onda del rayo cuando se propaga por el aire. [0,5 puntos]}$

En el aire la luz se propaga prácticamente con la velocidad que tiene en el vacío, y para cualquier onda armónica se cumple:

$c=\lambda_0\,f\Rightarrow \lambda_0=\frac{c}{f}$

$\lambda_0=\frac{3{,}0\cdot10^{8}}{3{,}75\cdot10^{14}}=8{,}0\cdot10^{-7}\ \text{m}=800\ \text{nm}$

La longitud de onda en el aire es de $800\ \text{nm}$, en el extremo rojo del espectro visible.

$\textbf{b) Determine la frecuencia y la longitud de onda del rayo cuando se propaga por el segundo medio. [1 punto]}$

La frecuencia la impone el foco emisor y no cambia al pasar de un medio a otro; lo que cambia es la velocidad de propagación y, con ella, la longitud de onda:

$f_2=f=3{,}75\cdot10^{14}\ \text{Hz}$

El índice de refracción relaciona la velocidad en el medio con la del vacío:

$n_2=\frac{c}{v_2}\Rightarrow v_2=\frac{c}{n_2}=\frac{3{,}0\cdot10^{8}}{1{,}45}=2{,}07\cdot10^{8}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$\lambda_2=\frac{v_2}{f}=\frac{2{,}07\cdot10^{8}}{3{,}75\cdot10^{14}}=5{,}52\cdot10^{-7}\ \text{m}=552\ \text{nm}$

También se puede obtener directamente como $\lambda_2=\lambda_0/n_2$. La frecuencia sigue siendo $3{,}75\cdot10^{14}\ \text{Hz}$ y la longitud de onda se reduce a $552\ \text{nm}$.

$\textbf{c) ¿Con qué ángulo deberá incidir el rayo cuando viaja por el segundo medio al volver a cambiar de medio al aire, para que se obtenga reflexión total? [0,5 puntos]}$










La reflexión total solo es posible cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menos refringente, que es el caso, ya que $n_2=1{,}45>n_{\text{aire}}=1$.

El ángulo límite es el ángulo de incidencia al que corresponde un ángulo de refracción de $90^\circ$. Aplicando la ley de Snell:

$n_2\,\text{sen}\,\hat\lambda=n_{\text{aire}}\,\text{sen}\,90^\circ$





$\text{sen}\,\hat\lambda=\frac{n_{\text{aire}}}{n_2}=\frac{1}{1{,}45}=0{,}690$

$\hat\lambda=\arcsin(0{,}690)=43{,}6^\circ$

Para ángulos de incidencia mayores que $43{,}6^\circ$ el rayo no llega a refractarse y se refleja íntegramente dentro del segundo medio.