Ejercicio resuelto de Ondas · Física · Asturias · 2024

Una onda transversal se propaga por una cuerda en el sentido positivo del eje $X$ con una velocidad de $4\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$. La onda tiene una amplitud de $0{,}8\ \text{m}$ y una frecuencia angular de $\pi/4\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$. Si en el instante $t = 0\ \text{s}$ el punto situado en el origen de coordenadas tiene aceleración máxima y positiva, calcule:

a) la expresión matemática de la onda. [1 punto]

b) la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situado en $x = 2\ \text{m}$ en el instante $t = 10\ \text{s}$. [1 punto]

$\textbf{a) la expresión matemática de la onda. [1 punto]}$

Una onda armónica transversal que avanza en el sentido positivo del eje $X$ se escribe:

$y(x,t)=A\,\text{sen}\,(\omega t-kx+\varphi_0)$

Del enunciado se conocen la amplitud y la frecuencia angular:

$A=0{,}8\ \text{m}\qquad \omega=\frac{\pi}{4}\ \text{rad}\cdot\text{s}^{-1}$

y de la relación entre la velocidad de propagación y el número de onda:

$v=\frac{\omega}{k}\Rightarrow k=\frac{\omega}{v}=\frac{\pi/4}{4}=\frac{\pi}{16}\ \text{rad}\cdot\text{m}^{-1}$



Con ello, la longitud de onda y la frecuencia valen:

$\lambda=\frac{2\pi}{k}=\frac{2\pi}{\pi/16}=32\ \text{m}\qquad f=\frac{\omega}{2\pi}=0{,}125\ \text{Hz}$

Falta la fase inicial. En un movimiento armónico simple la aceleración es:

$a_y=\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}=-\omega^2\,y$

de modo que la aceleración es máxima y positiva cuando la elongación es máxima y negativa, es decir, cuando $y=-A$. Imponiendo esa condición en el origen y en el instante inicial:

$y(0,0)=A\,\text{sen}\,\varphi_0=-A\Rightarrow \text{sen}\,\varphi_0=-1$

$\varphi_0=-\frac{\pi}{2}\ \text{rad}$

La expresión de la onda, en unidades del Sistema Internacional, es:

$y(x,t)=0{,}8\,\text{sen}\left(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{16}x-\frac{\pi}{2}\right)\ \text{m}$

$\textbf{b) la velocidad de oscilación de un punto de la cuerda situado en } \boldsymbol{x = 2\ \text{m}}\textbf{ en el instante } \boldsymbol{t = 10\ \text{s}}\textbf{. [1 punto]}$

La velocidad de oscilación de un punto es la derivada de la elongación respecto del tiempo, con $x$ fijo:

$v_y=\frac{\partial y}{\partial t}=A\,\omega\cos\left(\omega t-kx+\varphi_0\right)$

$v_y=0{,}8\cdot\frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{4}t-\frac{\pi}{16}x-\frac{\pi}{2}\right)$

Sustituyendo $x=2\ \text{m}$ y $t=10\ \text{s}$:

$v_y=0{,}628\cos\left(\frac{10\pi}{4}-\frac{2\pi}{16}-\frac{\pi}{2}\right)=0{,}628\cos\left(1{,}875\pi\right)$

$v_y=0{,}628\cdot0{,}924=0{,}58\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de oscilación de ese punto en ese instante es de $0{,}58\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$, positiva y algo menor que la velocidad máxima de vibración, que vale $A\omega=0{,}63\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.