Ejercicio resuelto de Campo magnético · Física · Asturias · 2024

Un hilo conductor rectilíneo muy largo se halla dispuesto según el eje $OY$ mientras por el circula una intensidad de corriente de 1 A en el sentido positivo de dicho eje. Un electrón que se encuentra en el plano $XY$ a una distancia $d = 10^{-1}\ \text{m}$ del conductor lleva una velocidad $\vec{v} = 10^{6}\,\vec{\imath}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$.

a) Realice un esquema describiendo los vectores velocidad del electrón, campo magnético creado por el hilo conductor y la fuerza magnética ejercida sobre el electrón. Determine de forma razonada el módulo, dirección y sentido de la fuerza. [1,5 puntos]

b) Si se cambia la dirección de la velocidad del electrón según el eje $OY$, ¿cuál sería la nueva fuerza ejercida? Razone la respuesta. [0,5 puntos]

Datos: $\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\ \text{T}\cdot\text{m}\cdot\text{A}^{-1}$; $|q_{e^-}| = 1{,}6\cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

$\textbf{a) Realice un esquema describiendo los vectores velocidad del electrón, campo magnético creado por el hilo conductor y la fuerza magnética ejercida sobre el electrón. Determine de forma razonada el módulo, dirección y sentido de la fuerza. [1,5 puntos]}$










El electrón está en el plano $XY$, a $d=10^{-1}\ \text{m}$ del hilo; se toma el punto $P\,(d,0)$.

El módulo del campo magnético creado por un conductor rectilíneo indefinido viene dado por la ley de Biot-Savart:

$B=\frac{\mu_0 I}{2\pi d}$

$B=\frac{4\pi\cdot10^{-7}\cdot1}{2\pi\cdot10^{-1}}=2\cdot10^{-6}\ \text{T}$

Por la regla de la mano derecha, con la corriente en el sentido $+\vec{\jmath}$ y el punto sobre el semieje $X$ positivo, el campo es entrante en el plano:





$\vec B=-2\cdot10^{-6}\,\vec k\ \text{T}$

La fuerza sobre una carga en movimiento dentro de un campo magnético es la fuerza de Lorentz:

$\vec F=q\,(\vec v\times\vec B)$

Para el electrón $q=-1{,}6\cdot10^{-19}\ \text{C}$, y el producto vectorial vale:

$\vec v\times\vec B=\left(10^{6}\,\vec{\imath}\right)\times\left(-2\cdot10^{-6}\,\vec k\right)=-2\,(\vec{\imath}\times\vec k)=+2\,\vec{\jmath}$

ya que $\vec{\imath}\times\vec k=-\vec{\jmath}$. Por tanto:

$\vec F=-1{,}6\cdot10^{-19}\cdot2\,\vec{\jmath}=-3{,}2\cdot10^{-19}\,\vec{\jmath}\ \text{N}$

La fuerza tiene módulo $3{,}2\cdot10^{-19}\ \text{N}$, dirección la del eje $Y$ y sentido negativo, es decir, contraria a la corriente del hilo.

$\textbf{b) Si se cambia la dirección de la velocidad del electrón según el eje } \boldsymbol{OY}\textbf{, ¿cuál sería la nueva fuerza ejercida? Razone la respuesta. [0,5 puntos]}$

Con la velocidad ahora en la dirección del eje $Y$ positivo:

$\vec v\,'=10^{6}\,\vec{\jmath}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}$

$\vec v\,'\times\vec B=\left(10^{6}\,\vec{\jmath}\right)\times\left(-2\cdot10^{-6}\,\vec k\right)=-2\,(\vec{\jmath}\times\vec k)=-2\,\vec{\imath}$

$\vec F\,'=-1{,}6\cdot10^{-19}\cdot(-2\,\vec{\imath})=+3{,}2\cdot10^{-19}\,\vec{\imath}\ \text{N}$

El módulo no cambia, porque la velocidad sigue siendo perpendicular al campo, pero la dirección de la fuerza sí: ahora es radial y de sentido saliente, de modo que el electrón es repelido por el hilo.

El resultado es coherente con el comportamiento de dos corrientes paralelas: un electrón que se mueve en el sentido $+\vec{\jmath}$ equivale a una corriente en sentido $-\vec{\jmath}$, opuesta a la del hilo, y dos corrientes antiparalelas se repelen.