Ejercicio resuelto de Campo eléctrico · Física · Asturias · 2024

Tres cargas puntuales $q_1 = 8\ \mu\text{C}$ y $q_2 = q_3 = -4\ \mu\text{C}$ se colocan en los vértices de un cuadrado de lado 2 m, hallándose $q_1$ en el origen de coordenadas $O\,(0,0)$, y las cargas $q_2$ y $q_3$ en los vértices $A\,(2,0)\ \text{m}$ y $B\,(0,2)\ \text{m}$, respectivamente.

a) Realice un diagrama y determine el campo eléctrico en el centro del cuadrado $C\,(1,1)\ \text{m}$. [1 punto]

b) Calcule el potencial eléctrico en los puntos $C$ y en el cuarto vértice $D\,(2,2)\ \text{m}$. [0,5 puntos]

c) Determine el trabajo realizado para llevar una carga puntual $q_4 = 3\ \text{nC}$ desde el vértice $D$ hasta el centro del cuadrado. Justifique si el trabajo se realiza por el campo eléctrico del sistema de cargas o en contra del campo del sistema de cargas. [0,5 puntos]

Dato: $k = 9{,}0\cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{C}^{-2}$.

$\textbf{a) Realice un diagrama y determine el campo eléctrico en el centro del cuadrado } \boldsymbol{C\,(1,1)\ \text{m}}\textbf{. [1 punto]}$










El campo creado por una carga puntual es $\vec E=K\dfrac{q}{r^2}\,\vec u_r$, dirigido en el sentido de alejarse de la carga si es positiva y de acercarse a ella si es negativa.

Las tres cargas equidistan del centro del cuadrado:

$r=\frac{l\sqrt2}{2}=\sqrt2\ \text{m}\Rightarrow r^2=2\ \text{m}^2$

Por el principio de superposición, el campo total es la suma vectorial de los tres.





Campo de $q_1$, que se aleja del origen a lo largo de la diagonal $OC$:

$E_1=K\frac{q_1}{r^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{8\cdot10^{-6}}{2}=3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec u_{OC}=\frac{(1,1)}{\sqrt2}=\left(\frac{\sqrt2}{2},\frac{\sqrt2}{2}\right)\Rightarrow \vec E_1=(2{,}55\cdot10^{4},\,2{,}55\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Campos de $q_2$ y $q_3$, que apuntan hacia cada carga por ser negativas:

$E_2=E_3=K\frac{|q_2|}{r^2}=9{,}0\cdot10^{9}\cdot\frac{4\cdot10^{-6}}{2}=1{,}8\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E_2=1{,}8\cdot10^{4}\cdot\frac{(1,-1)}{\sqrt2}=(1{,}27\cdot10^{4},\,-1{,}27\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$\vec E_3=1{,}8\cdot10^{4}\cdot\frac{(-1,1)}{\sqrt2}=(-1{,}27\cdot10^{4},\,1{,}27\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

Las dos cargas negativas son iguales y están colocadas simétricamente respecto de la diagonal, así que sus campos son opuestos y se cancelan:

$\vec E_2+\vec E_3=\vec 0$

Por tanto, el campo total en el centro es el que crea $q_1$:

$\vec E_C=\vec E_1=(2{,}55\cdot10^{4},\,2{,}55\cdot10^{4})\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

$|\vec E_C|=3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$

El campo en el centro tiene módulo $3{,}6\cdot10^{4}\ \text{N}\cdot\text{C}^{-1}$ y está dirigido a lo largo de la diagonal $OD$, alejándose de la carga positiva.

$\textbf{b) Calcule el potencial eléctrico en los puntos } \boldsymbol{C}\textbf{ y en el cuarto vértice } \boldsymbol{D\,(2,2)\ \text{m}}\textbf{. [0,5 puntos]}$

El potencial es una magnitud escalar y se suman directamente las contribuciones de las tres cargas:

$V=K\sum_i\frac{q_i}{r_i}$

En el centro $C$ las tres distancias valen $\sqrt2\ \text{m}$:

$V_C=\frac{K}{\sqrt2}\left(8\cdot10^{-6}-4\cdot10^{-6}-4\cdot10^{-6}\right)=0\ \text{V}$

En el vértice $D$ las distancias son $r_{OD}=2\sqrt2\ \text{m}$ y $r_{AD}=r_{BD}=2\ \text{m}$:

$V_D=9{,}0\cdot10^{9}\left(\frac{8\cdot10^{-6}}{2\sqrt2}+\frac{-4\cdot10^{-6}}{2}+\frac{-4\cdot10^{-6}}{2}\right)$

$V_D=9{,}0\cdot10^{9}\cdot(-1{,}17\cdot10^{-6})=-1{,}05\cdot10^{4}\ \text{V}$

El potencial en el centro es nulo y en el cuarto vértice vale $-1{,}05\cdot10^{4}\ \text{V}$.

$\textbf{c) Determine el trabajo realizado para llevar una carga puntual } \boldsymbol{q_4 = 3\ \text{nC}}\textbf{ desde el vértice } \boldsymbol{D}\textbf{ hasta el centro del cuadrado. Justifique si el trabajo se realiza por el campo eléctrico del sistema de cargas o en contra del campo del sistema de cargas. [0,5 puntos]}$

El campo eléctrico es conservativo, de modo que el trabajo que realizan sus fuerzas es igual a la disminución de la energía potencial y solo depende de los potenciales inicial y final:

$W_{D\to C}=q_4\,(V_D-V_C)$

$W_{D\to C}=3\cdot10^{-9}\cdot\left(-1{,}05\cdot10^{4}-0\right)$

$W_{D\to C}=-3{,}16\cdot10^{-5}\ \text{J}$

El trabajo de las fuerzas del campo es negativo, es decir, el campo se opone al desplazamiento. La carga es positiva y va desde un punto de potencial negativo hasta otro de potencial mayor, con lo que su energía potencial aumenta. Por tanto, el traslado no es espontáneo: lo debe realizar un agente externo, aportando

$W_{\text{ext}}=+3{,}16\cdot10^{-5}\ \text{J}$