Ejercicio resuelto de Campo gravitatorio · Física · 2024

El planeta Mercurio tiene una gravedad en su superficie de $0{,}37$ veces la gravedad terrestre y su radio es $0{,}387$ veces el radio de la Tierra.

a) Calcule la masa del planeta Mercurio. [0,5 puntos]

b) Determine el peso en la superficie de Mercurio de un cuerpo que en la Tierra pesa 20 N. [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de Mercurio? [1 punto]

Datos: $G = 6{,}67\cdot 10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{kg}^{-2}$; $R_T = 6{,}37\cdot 10^{6}\ \text{m}$; $M_{\text{Tierra}} = 5{,}97\cdot 10^{24}\ \text{kg}$.

$\textbf{a) Calcule la masa del planeta Mercurio. [0,5 puntos]}$

La intensidad del campo gravitatorio en la superficie de un planeta se obtiene aplicando la ley de gravitación universal de Newton a un cuerpo situado sobre ella:

$g=G\frac{M}{R^2}\Rightarrow M=\frac{g\,R^2}{G}$

Se necesitan la gravedad y el radio de Mercurio, y los dos se dan como fracción de los terrestres. Se calcula primero la gravedad en la superficie de la Tierra:

$g_T=G\frac{M_T}{R_T^2}=6{,}67\cdot10^{-11}\cdot\frac{5{,}97\cdot10^{24}}{(6{,}37\cdot10^{6})^2}=9{,}81\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

Y con ella los datos de Mercurio:

$g_M=0{,}37\,g_T=0{,}37\cdot9{,}81=3{,}63\ \text{m}\cdot\text{s}^{-2}$

$R_M=0{,}387\,R_T=0{,}387\cdot6{,}37\cdot10^{6}=2{,}47\cdot10^{6}\ \text{m}$

Sustituyendo en la expresión de la masa:

$M_M=\frac{g_M\,R_M^2}{G}=\frac{3{,}63\cdot(2{,}47\cdot10^{6})^2}{6{,}67\cdot10^{-11}}$

$M_M=3{,}31\cdot10^{23}\ \text{kg}$

La masa de Mercurio es $3{,}31\cdot10^{23}\ \text{kg}$, unas dieciocho veces menor que la de la Tierra.

$\textbf{b) Determine el peso en la superficie de Mercurio de un cuerpo que en la Tierra pesa 20 N. [0,5 puntos]}$

La masa del cuerpo es la misma en los dos planetas; lo que cambia es la intensidad del campo. De la definición de peso:

$P_T=m\,g_T\Rightarrow m=\frac{P_T}{g_T}=\frac{20}{9{,}81}=2{,}04\ \text{kg}$

Y en la superficie de Mercurio:

$P_M=m\,g_M=2{,}04\cdot3{,}63=7{,}4\ \text{N}$

El mismo resultado se obtiene de forma directa, ya que el peso es proporcional a la gravedad:

$P_M=0{,}37\,P_T=0{,}37\cdot20=7{,}4\ \text{N}$

El cuerpo pesa $7{,}4\ \text{N}$ en la superficie de Mercurio.

$\textbf{c) ¿Cuál sería la velocidad de escape de un objeto lanzado desde la superficie de Mercurio? [1 punto]}$

La velocidad de escape es la mínima velocidad que hay que comunicar a un objeto en la superficie del planeta para que llegue al infinito con velocidad nula. Como el campo gravitatorio es conservativo y no actúa ninguna otra fuerza, se conserva la energía mecánica:

$E_m(R_M)=E_m(\infty)$

$-G\frac{M_M\,m}{R_M}+\frac12\,m\,v_{\text{esc}}^2=0+0$

$\frac12\,v_{\text{esc}}^2=G\frac{M_M}{R_M}\Rightarrow v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\,G\,M_M}{R_M}}$

Se sustituyen los valores obtenidos en el apartado a):

$v_{\text{esc}}=\sqrt{\frac{2\cdot6{,}67\cdot10^{-11}\cdot3{,}31\cdot10^{23}}{2{,}47\cdot10^{6}}}$

$v_{\text{esc}}=4{,}23\cdot10^{3}\ \text{m}\cdot\text{s}^{-1}=4{,}23\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$

La velocidad de escape desde la superficie de Mercurio es de $4{,}23\ \text{km}\cdot\text{s}^{-1}$, algo más de la tercera parte de la terrestre.