Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

En una pumarada la producción en kilogramos de cada manzano sigue una distribución normal de media $\mu = 50$ y desviación típica $\sigma = 10$. Calcule:

a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. [1,25 puntos]

b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 % de los árboles. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(2) = 0{,}9772$, $F(1) = 0{,}8413$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(0{,}5) = 0{,}6915$, $F(0{,}2533) = 0{,}6$, $F(0{,}5244) = 0{,}7$, $F(0{,}8416) = 0{,}8$.

Llamamos $X$ a la producción, en kilogramos, de un manzano.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(50;\,10)$

$\textbf{a) La proporción de árboles que dan entre 30 y 60 kilogramos. [1,25 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-50}{10}\sim N(0,1)$

$P(30\leq X\leq60)=P\left(\dfrac{30-50}{10}\leq Z\leq\dfrac{60-50}{10}\right)=P(-2\leq Z\leq1)$

La probabilidad de una franja es la diferencia de las dos áreas acumuladas, y la del extremo negativo se lleva al semieje positivo por simetría.

$P(-2\leq Z\leq1)=F(1)-F(-2)=F(1)-\left[1-F(2)\right]$

$=0{,}8413-(1-0{,}9772)=0{,}8413-0{,}0228=0{,}8185$



La proporción de árboles que producen entre 30 y 60 kilogramos es $0{,}8185$, es decir, un $81{,}85\%$.

$\textbf{b) El número de kilogramos por árbol a los que no llegan o igualan el 60 \% de los árboles. [1,25 puntos]}$

Se busca el valor $k$ que deja por debajo de sí al 60 % de los árboles, de modo que ahora el dato es la probabilidad y la incógnita es la producción: se recorre el camino inverso.

$P(X\leq k)=0{,}6$

$F(z)=0{,}6 \Rightarrow z=0{,}2533$



Deshacemos la tipificación para volver a la variable original:

$z=\dfrac{k-50}{10}=0{,}2533$

$k-50=2{,}533 \Rightarrow k=52{,}533$

El 60 % de los árboles no llega a los $52{,}53\ \text{kg}$ de producción, un valor algo por encima de la media, como corresponde a un porcentaje mayor que el 50 %.