Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados dos planos $\begin{cases} \pi : x + y - 2z = 3 \\ \pi' : x - z = 5 \end{cases}$. Sea $P$ un punto de $\pi$ cuya proyección ortogonal sobre $\pi'$ es el punto $A(5, 1, 0)$.

a) Calcule las ecuaciones implícitas de la recta $r$ que une $P$ y $A$. [1,5 puntos]

b) Calcule el punto $P$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule las ecuaciones implícitas de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{ que une } \boldsymbol{P}\textbf{ y } \boldsymbol{A}\textbf{. [1,5 puntos]}$

La clave está en el significado de proyección ortogonal: si $A$ es la proyección de $P$ sobre $\pi'$, entonces el segmento que los une es perpendicular a ese plano y, por tanto, la recta $r$ tiene como director el normal de $\pi'$.



$\vec v_{r}=\vec n_{\pi'}=(1,0,-1)$

Con ese director y el punto $A(5,1,0)$ escribimos las paramétricas:

$r:\begin{cases} x=5+t \\ y=1 \\ z=-t \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}$

Para pasar a implícitas eliminamos el parámetro. La segunda coordenada ya da una ecuación, y sumando la primera y la tercera desaparece $t$:

$y=1$

$x+z=(5+t)+(-t)=5$

$r:\begin{cases} y=1 \\ x+z=5 \end{cases}$

$\textbf{b) Calcule el punto } \boldsymbol{P}\textbf{. [1 punto]}$

El punto $P$ es el de la recta $r$ que pertenece al plano $\pi$, así que sustituimos las paramétricas en su ecuación.

$(5+t)+1-2(-t)=3$

$5+t+1+2t=3 \Rightarrow 3t+6=3 \Rightarrow t=-1$

$P(5-1,\,1,\,-(-1))=P(4,1,1)$

Comprobamos que pertenece a $\pi$ y que su proyección sobre $\pi'$ es efectivamente $A$:

$4+1-2\cdot1=3$

$d(P,\pi')=\dfrac{|4-1-5|}{\sqrt{1^{2}+0^{2}+(-1)^{2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}=\left|\overrightarrow{PA}\right|$

El punto pedido es $P(4,1,1)$.