Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sean $A(2, 1, 0)$, $B(5, 5, 0)$ y $C(2, 1, 5)$ tres vértices de la cara $S$ de un cubo, de caras cuadradas iguales, y $E(-2, 4, 0)$ un vértice de la cara opuesta. Se pide:

a) El cuarto vértice $D$ de la cara $S$. [1 punto]

b) La ecuación del plano $\pi$ que contiene la cara opuesta de $S$. [1 punto]

c) ¿Cuál es el vértice de la cara $S$ adyacente a $E$? [0,5 puntos]

$\textbf{a) El cuarto vértice } \boldsymbol{D}\textbf{ de la cara } \boldsymbol{S}\textbf{. [1 punto]}$

Antes de nada conviene averiguar cómo están colocados los tres vértices dados, calculando los vectores que salen de $A$.

$\overrightarrow{AB}=(5,5,0)-(2,1,0)=(3,4,0), \qquad \overrightarrow{AC}=(2,1,5)-(2,1,0)=(0,0,5)$

$\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{9+16}=5, \qquad \left|\overrightarrow{AC}\right|=5$

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=0+0+0=0$

Los dos vectores son perpendiculares y miden lo mismo, luego son dos lados consecutivos del cuadrado y $A$ es el vértice que comparten. La arista del cubo mide 5.

El cuarto vértice se obtiene sumando a $A$ los dos vectores, o lo que es lo mismo, trasladando $B$ según $\overrightarrow{AC}$:

$D=A+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=(2,1,0)+(3,4,0)+(0,0,5)=(5,5,5)$

El cuarto vértice de la cara $S$ es $D(5,5,5)$.

$\textbf{b) La ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene la cara opuesta de } \boldsymbol{S}\textbf{. [1 punto]}$

Las dos caras son paralelas, de modo que comparten vector normal. Lo calculamos con el producto vectorial de los dos lados de $S$.

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{vmatrix}=(20-0)\vec i-(15-0)\vec j+0\vec k=(20,-15,0)$

Simplificamos dividiendo entre 5:

$\vec n=(4,-3,0)$

El plano buscado es el que pasa por $E$, que pertenece a la cara opuesta.

$\pi: 4x-3y+D=0$

$E(-2,4,0)\in\pi \Rightarrow 4(-2)-3\cdot4+D=0 \Rightarrow -20+D=0 \Rightarrow D=20$

$\pi: 4x-3y+20=0$

Comprobamos que la distancia entre las dos caras es la arista del cubo. El plano de $S$ es $4x-3y-5=0$, porque $4\cdot2-3\cdot1=5$:

$d=\dfrac{|20-(-5)|}{\sqrt{4^{2}+(-3)^{2}}}=\dfrac{25}{5}=5$

$\textbf{c) ¿Cuál es el vértice de la cara } \boldsymbol{S}\textbf{ adyacente a } \boldsymbol{E}\textbf{? [0,5 puntos]}$

Cada vértice de la cara opuesta se obtiene trasladando su homólogo de $S$ según la arista perpendicular, de longitud 5. El adyacente a $E$ es, por tanto, el único vértice de $S$ que está a distancia 5 de él.

$\overrightarrow{AE}=(-2,4,0)-(2,1,0)=(-4,3,0)$

$\left|\overrightarrow{AE}\right|=\sqrt{16+9}=5$

Ese vector es además paralelo al normal, ya que $(-4,3,0)=-\vec n$: la arista es perpendicular a las dos caras, como debe ser.

Basta comprobar que los otros tres vértices quedan más lejos:

$\left|\overrightarrow{BE}\right|=|(-7,-1,0)|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$\left|\overrightarrow{CE}\right|=|(-4,3,-5)|=\sqrt{50}=5\sqrt{2}$

$\left|\overrightarrow{DE}\right|=|(-7,-1,-5)|=\sqrt{75}=5\sqrt{3}$

Los tres son diagonales del cubo —de una cara los dos primeros y del cuerpo el tercero—, no aristas.

El vértice de la cara $S$ adyacente a $E$ es $A(2,1,0)$.