Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Dada la función $f(x) = \dfrac{2x^3 + 1}{x^2}$.

a) Estudie y calcule su dominio de definición y sus asíntotas. [1,25 puntos]

b) Halle, si existen, máximos y mínimos relativos y calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [0,75 puntos]

c) Haga un esbozo de su gráfica. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Estudie y calcule su dominio de definición y sus asíntotas. [1,25 puntos]}$

Conviene separar la fracción antes de empezar, porque así todo el estudio resulta más cómodo.

$f(x)=\dfrac{2x^{3}+1}{x^{2}}=2x+\dfrac{1}{x^{2}}$

Dominio. La función es racional y su denominador solo se anula en el origen.

$x^{2}=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{0\}$

Asíntotas verticales. El numerador vale 1 en $x=0$, luego no se cancela con el denominador.

$\lim_{x\to0}\left(2x+\dfrac{1}{x^{2}}\right)=0+\dfrac{1}{0^{+}}=+\infty$

$x=0 \text{ es asíntota vertical}$

El límite es $+\infty$ por los dos lados, porque $x^{2}$ es positivo se acerque $x$ a cero por donde se acerque.

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, así que no hay ninguna.

$\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty, \qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty$

Asíntota oblicua $y=mx+n$. La diferencia de grados es exactamente uno, de modo que sí la hay.

$m=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\pm\infty}\left(2+\dfrac{1}{x^{3}}\right)=2$

$n=\lim_{x\to\pm\infty}\left(f(x)-2x\right)=\lim_{x\to\pm\infty}\dfrac{1}{x^{2}}=0$

$y=2x \text{ es asíntota oblicua}$

$\textbf{b) Halle, si existen, máximos y mínimos relativos y calcule sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. [0,75 puntos]}$

Derivamos la expresión separada, escribiéndola antes como $f(x)=2x+x^{-2}$.

$f'(x)=2-2x^{-3}=2-\dfrac{2}{x^{3}}=\dfrac{2\left(x^{3}-1\right)}{x^{3}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow x^{3}-1=0 \Rightarrow x=1$

Estudiamos el signo de la derivada en los tres intervalos que determinan el punto crítico y el que queda fuera del dominio.

$x<0: \quad x^{3}-1<0 \text{ y } x^{3}<0 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ crece}$

$0<x<1: \quad x^{3}-1<0 \text{ y } x^{3}>0 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ decrece}$

$x>1: \quad x^{3}-1>0 \text{ y } x^{3}>0 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ crece}$

La función pasa de decreciente a creciente en $x=1$, luego ahí hay un mínimo relativo. Lo confirmamos con la segunda derivada.

$f''(x)=6x^{-4}=\dfrac{6}{x^{4}} \Rightarrow f''(1)=6>0$

$f(1)=2+1=3$

La función tiene un único extremo, un mínimo relativo en $(1,3)$; crece en $(-\infty,0)$ y en $(1,+\infty)$, y decrece en $(0,1)$.

$\textbf{c) Haga un esbozo de su gráfica. [0,5 puntos]}$

Añadimos el corte con el eje de abscisas, que se obtiene anulando el numerador.

$2x^{3}+1=0 \Rightarrow x^{3}=-\dfrac{1}{2} \Rightarrow x=-\dfrac{1}{\sqrt[3]{2}}\approx-0{,}79$

No hay corte con el eje de ordenadas porque el origen no pertenece al dominio. Además, como $\frac{1}{x^{2}}>0$, la curva queda siempre por encima de su asíntota oblicua.