Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2020

Dada la matriz $A = \begin{pmatrix} x+1 & x+1 & x-2 \\ x & x & 2-x \\ x & x-1 & x \end{pmatrix}$, con $x \in \mathbb{R}$.

a) Calcule su determinante aplicando sus propiedades y estudie cuándo es invertible la matriz. [1,5 puntos]

b) Para $x = 1$, calcule su inversa. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule su determinante aplicando sus propiedades y estudie cuándo es invertible la matriz. [1,5 puntos]}$

El enunciado pide usar las propiedades, así que en lugar de desarrollar directamente conviene hacer ceros restando filas y columnas, que no altera el valor del determinante.

$|A|=\begin{vmatrix} x+1 & x+1 & x-2 \\ x & x & 2-x \\ x & x-1 & x \end{vmatrix}$

Restamos la segunda fila a la primera, con lo que aparecen dos unos:

$F_{1}\to F_{1}-F_{2}: \quad \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2x-4 \\ x & x & 2-x \\ x & x-1 & x \end{vmatrix}$

Restamos ahora la primera columna a la segunda, que la deja casi entera de ceros:

$C_{2}\to C_{2}-C_{1}: \quad \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2x-4 \\ x & 0 & 2-x \\ x & -1 & x \end{vmatrix}$

Desarrollamos por la segunda columna, en la que solo queda un elemento no nulo:

$|A|=-(-1)\begin{vmatrix} 1 & 2x-4 \\ x & 2-x \end{vmatrix}=(2-x)-x(2x-4)$

$=(2-x)+2x(2-x)=(2-x)(1+2x)$

Una matriz cuadrada es invertible exactamente cuando su determinante no se anula.

$|A|=0 \Rightarrow \begin{cases} 2-x=0 \Rightarrow x=2 \\ 1+2x=0 \Rightarrow x=-\dfrac{1}{2} \end{cases}$

La matriz $A$ es invertible para todo $x$ salvo $x=2$ y $x=-\frac{1}{2}$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{x=1}\textbf{, calcule su inversa. [1 punto]}$

Sustituimos y comprobamos con la fórmula del apartado anterior que la inversa existe.

$A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad |A|=(2-1)(1+2)=3\neq0$

La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$A^{t}=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{t})=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix} 2 & 2 & -1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ -1 & 2 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$