Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema $\begin{cases} x + y = a \\ (2-a)x + 2y = 1 \\ ax = a \end{cases}$, con $a \in \mathbb{R}$.

a) Estudie su compatibilidad según los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo cuando sea posible. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie su compatibilidad según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Es un sistema de tres ecuaciones con solo dos incógnitas, de modo que la matriz de coeficientes es $3\times2$ y su rango no puede pasar de 2. La ampliada sí es cuadrada, así que empezamos por su determinante, desarrollándolo por la tercera fila.

$A=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 2-a & 2 \\ a & 0 \end{pmatrix}, \qquad A^{*}=\begin{pmatrix} 1 & 1 & a \\ 2-a & 2 & 1 \\ a & 0 & a \end{pmatrix}$

$|A^{*}|=a\begin{vmatrix} 1 & a \\ 2 & 1 \end{vmatrix}+a\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2-a & 2 \end{vmatrix}$

$=a(1-2a)+a\left(2-(2-a)\right)=a-2a^{2}+a^{2}=a-a^{2}=a(1-a)$

$|A^{*}|=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=1 \end{cases}$

Si $a\neq0$ y $a\neq1$, el determinante de la ampliada no se anula:

$\operatorname{rg}(A^{*})=3>2\geq\operatorname{rg}(A) \Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $a=0$, el sistema queda:

$\begin{cases} x+y=0 \\ 2x+2y=1 \\ 0=0 \end{cases}$

Las dos primeras ecuaciones se contradicen: la primera dice $x+y=0$ y la segunda, dividida entre 2, dice $x+y=\frac{1}{2}$. En la matriz de coeficientes las filas son proporcionales, luego $\operatorname{rg}(A)=1$, mientras que en la ampliada el menor $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix}=1\neq0$ da $\operatorname{rg}(A^{*})=2$.

$\operatorname{rg}(A)=1\neq2=\operatorname{rg}(A^{*}) \Rightarrow \text{sistema incompatible}$

Si $a=1$, el sistema queda:

$\begin{cases} x+y=1 \\ x+2y=1 \\ x=1 \end{cases}$

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}=1\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2=\text{n.º de incógnitas}$

$\Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

El sistema solo tiene solución para $a=1$, y en ese caso es única; para cualquier otro valor de $a$ es incompatible.

$\textbf{b) Resuélvalo cuando sea posible. [1 punto]}$

El único caso con solución es $a=1$. La tercera ecuación da directamente una de las incógnitas.

$x=1$

Sustituyendo en la primera:

$1+y=1 \Rightarrow y=0$

Comprobamos la solución en la segunda ecuación, que es la que no se ha usado:

$x+2y=1+0=1$

La solución, para $a=1$, es $(x,y)=(1,0)$.