Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Los 5 defensas, 3 medios y 2 delanteros de un equipo de fútbol se entrenan lanzando penaltis a su portero. Los defensas marcan gol la mitad de las veces, los medios las $2/3$ partes de las veces y los delanteros las $3/4$ partes de las veces.

a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti? [1,25 puntos]

b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 %. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcule la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal. [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(3{,}25) = 0{,}9994$, $F(3{,}2917) = 0{,}9995$, $F(3{,}3333) = 0{,}9996$, $F(3{,}375) = 0{,}9996$, $F(3{,}4167) = 0{,}9997$.

$\textbf{a) Se elige un jugador al azar, ¿cuál es la probabilidad de que meta el penalti? [1,25 puntos]}$

Nombramos los sucesos según el puesto del jugador elegido y el resultado del lanzamiento:

$D \equiv$ el jugador es defensa; $M \equiv$ es medio; $L \equiv$ es delantero

$G \equiv$ el jugador mete el penalti

El equipo lo forman $5+3+2=10$ jugadores, así que las probabilidades de la primera etapa se leen de esos recuentos.

$P(D)=\dfrac{5}{10}, \qquad P(M)=\dfrac{3}{10}, \qquad P(L)=\dfrac{2}{10}$

$P(G|D)=\dfrac{1}{2}, \qquad P(G|M)=\dfrac{2}{3}, \qquad P(G|L)=\dfrac{3}{4}$

El árbol del problema es:



Los tres puestos forman un sistema completo de sucesos, así que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(G)=P(D)P(G|D)+P(M)P(G|M)+P(L)P(G|L)$

$P(G)=\dfrac{5}{10}\cdot\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{10}\cdot\dfrac{2}{3}+\dfrac{2}{10}\cdot\dfrac{3}{4}$

$P(G)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{5+4+3}{20}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}$

La probabilidad de que el jugador elegido meta el penalti es $\frac{3}{5}=0{,}6$, es decir, un $60\%$, que es justamente el valor que el apartado siguiente da por supuesto.

$\textbf{b) Se supone que la probabilidad del apartado anterior es del 60 \%. El equipo realiza en una semana 600 lanzamientos. En cada lanzamiento se elige un jugador al azar y regresa al grupo pudiendo ser elegido nuevamente. Calcule la probabilidad de que como mucho se metan 400 goles aproximando la distribución por una normal. [1,25 puntos]}$

Se repiten 600 veces pruebas independientes con la misma probabilidad de éxito, porque el jugador vuelve al grupo. La variable $X$ que cuenta los goles es, por tanto, binomial.

$X\sim B(600;\,0{,}6)$

La aproximación por una normal es válida cuando $np$ y $nq$ superan 5, cosa que aquí se cumple sobradamente.

$np=600\cdot0{,}6=360>5, \qquad nq=600\cdot0{,}4=240>5$

$\mu=np=360, \qquad \sigma=\sqrt{npq}=\sqrt{600\cdot0{,}6\cdot0{,}4}=\sqrt{144}=12$

$X\approx X'\sim N(360;\,12)$

Tipificamos el valor 400 para poder usar la tabla:

$P(X\leq400)=P\left(Z\leq\dfrac{400-360}{12}\right)=P(Z\leq3{,}3333)$

$P(Z\leq3{,}3333)=F(3{,}3333)=0{,}9996$



La probabilidad de que como mucho se metan 400 goles es $0{,}9996$: prácticamente segura, porque 400 goles quedan a más de tres desviaciones típicas por encima de la media.