Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Sea el prisma triangular de la figura, con los triángulos de las bases iguales y paralelos, y con $A(1, 0, 0)$, $B'(-1, 2, 2)$, $C(0, 3, 0)$ y $C'(0, 4, 2)$. Sean $\pi$ el plano al que pertenecen los puntos $A$, $B$ y $C$, y $\pi'$ el plano al que pertenecen los puntos $A'$, $B'$ y $C'$. Calcule:

a) Las coordenadas de los puntos restantes: $A'$ y $B$. [0,75 puntos]

b) La distancia entre los planos $\pi$ y $\pi'$. [0,75 puntos]

c) El volumen del prisma triangular. [1 punto]

$\textbf{a) Las coordenadas de los puntos restantes: } \boldsymbol{A'}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{. [0,75 puntos]}$

En un prisma, la base superior se obtiene trasladando la inferior con un mismo vector, el que va de cada vértice a su homólogo. Ese vector se lee en la pareja de puntos que el enunciado da completa.

$\vec u=\overrightarrow{CC'}=(0,4,2)-(0,3,0)=(0,1,2)$

Con él pasamos de $A$ a $A'$ y volvemos de $B'$ a $B$:

$A'=A+\vec u=(1,0,0)+(0,1,2)=(1,1,2)$

$B=B'-\vec u=(-1,2,2)-(0,1,2)=(-1,1,0)$

Los puntos que faltan son $A'(1,1,2)$ y $B(-1,1,0)$.

$\textbf{b) La distancia entre los planos } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y } \boldsymbol{\pi'}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Calculamos primero el plano de la base inferior, que contiene a $A$, $B$ y $C$.

$\overrightarrow{AB}=(-1,1,0)-(1,0,0)=(-2,1,0), \qquad \overrightarrow{AC}=(0,3,0)-(1,0,0)=(-1,3,0)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \end{vmatrix}=(0-0)\vec i-(0-0)\vec j+(-6+1)\vec k=(0,0,-5)$

Los tres puntos tienen la tercera coordenada nula, así que el plano es sencillamente:

$\pi: z=0$

Los tres vértices de la base superior tienen $z=2$, de modo que:

$\pi': z=2$

Los dos planos son paralelos y la distancia entre ellos se mide desde cualquier punto de uno al otro:

$d(\pi,\pi')=d(A,\pi')=\dfrac{|0-2|}{\sqrt{0^{2}+0^{2}+1^{2}}}=2$

La distancia entre los dos planos es de 2 unidades de longitud.

$\textbf{c) El volumen del prisma triangular. [1 punto]}$

El volumen de un prisma es el área de la base por la altura, entendiendo por altura la distancia entre los planos de las dos bases, que ya está calculada.

$\mathcal{A}_{\text{base}}=\dfrac{1}{2}\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}\right|=\dfrac{1}{2}\sqrt{0^{2}+0^{2}+(-5)^{2}}=\dfrac{5}{2}$

$V=\mathcal{A}_{\text{base}}\cdot h=\dfrac{5}{2}\cdot2=5$

Se puede comprobar con el producto mixto, que da el volumen del paralelepípedo construido sobre las tres aristas; el prisma es su mitad:

$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\vec u\right]=\begin{vmatrix} -2 & 1 & 0 \\ -1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix}=2\begin{vmatrix} -2 & 1 \\ -1 & 3 \end{vmatrix}=2(-6+1)=-10$

$V=\dfrac{|-10|}{2}=5$

El volumen del prisma triangular es de 5 unidades cúbicas.