Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2020

Dados el punto $A(2, 1, 1)$ y la recta $r : \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases}$.

a) Calcule un vector director de la recta $r$. [0,75 puntos]

b) La ecuación del plano $\pi$ que contiene al punto $A$ y a la recta $r$. [0,75 puntos]

c) La ecuación de la recta $s$ contenida en $\pi$ que pasa por $A$ y es perpendicular a $r$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule un vector director de la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [0,75 puntos]}$

La recta viene dada como intersección de dos planos, de modo que su director es perpendicular a las dos normales y se obtiene con el producto vectorial.

$\vec n_{1}=(1,1,0), \qquad \vec n_{2}=(0,1,1)$

$\vec v_{r}=\vec n_{1}\times\vec n_{2}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}=(1-0)\vec i-(1-0)\vec j+(1-0)\vec k=(1,-1,1)$

Un vector director de $r$ es $\vec v_{r}=(1,-1,1)$.

$\textbf{b) La ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene al punto } \boldsymbol{A}\textbf{ y a la recta } \boldsymbol{r}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Necesitamos un punto de la recta. Dando el valor $y=0$ en las dos ecuaciones resulta $x=2$ y $z=0$.

$P_{r}(2,0,0)$

El plano contiene la dirección de la recta y la del segmento que une su punto de paso con $A$, así que su normal es el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{AP_{r}}=(2,0,0)-(2,1,1)=(0,-1,-1)$

$\vec n_{\pi}=\vec v_{r}\times\overrightarrow{AP_{r}}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & -1 & -1 \end{vmatrix}=(1+1)\vec i-(-1-0)\vec j+(-1-0)\vec k=(2,1,-1)$

$\pi: 2x+y-z+D=0$

Imponemos que pase por $A(2,1,1)$:

$4+1-1+D=0 \Rightarrow D=-4$

Comprobamos con el punto de la recta:

$P_{r}(2,0,0): \; 2\cdot2+0-0-4=0$

El plano pedido es $\pi: 2x+y-z-4=0$.



$\textbf{c) La ecuación de la recta } \boldsymbol{s}\textbf{ contenida en } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{ y es perpendicular a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1 punto]}$

La recta buscada cumple dos condiciones: está dentro de $\pi$, luego su director es perpendicular al normal del plano, y es perpendicular a $r$, luego también lo es a $\vec v_{r}$. Un vector perpendicular a los dos es su producto vectorial.

$\vec v_{s}=\vec n_{\pi}\times\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 2 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix}=(1-1)\vec i-(2+1)\vec j+(-2-1)\vec k=(0,-3,-3)$

Simplificamos dividiendo entre $-3$:

$\vec v_{s}=(0,1,1)$

Comprobamos las dos condiciones:

$\vec v_{s}\cdot\vec v_{r}=0-1+1=0, \qquad \vec v_{s}\cdot\vec n_{\pi}=0+1-1=0$

Con el punto $A(2,1,1)$ escribimos la recta:

$s:\begin{cases} x=2 \\ y=1+t \\ z=1+t \end{cases}, \quad t\in\mathbb{R}$