Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Sea la función $f(x) = 4 - x^2$.

a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado $D$. Calcule su área. [1 punto]

b) La gráfica de la función $g(x) = 3x^2$ divide $D$ en tres partes $D_1$, $D_2$ y $D_3$. Haga un dibujo de los tres recintos. [0,75 puntos]

c) Calcule el área del recinto $D_2$ que contiene al punto $P(0, 1)$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Su gráfica determina con el eje de abscisas un recinto limitado } \boldsymbol{D}\textbf{. Calcule su área. [1 punto]}$

El recinto queda entre la curva y el eje de abscisas, así que primero localizamos los cortes, que son sus extremos.

$4-x^{2}=0 \Rightarrow x=\pm2$

La parábola tiene las ramas hacia abajo, de modo que es positiva entre las dos raíces y la integral da directamente el área.

$\mathcal{A}(D)=\int_{-2}^{2}\left(4-x^{2}\right)dx=\left[4x-\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{-2}^{2}$

$=\left(8-\dfrac{8}{3}\right)-\left(-8+\dfrac{8}{3}\right)=16-\dfrac{16}{3}=\dfrac{32}{3}$

El área del recinto $D$ es de $\frac{32}{3}\approx10{,}67$ unidades de área.

$\textbf{b) La gráfica de la función } \boldsymbol{g(x)=3x^{2}}\textbf{ divide } \boldsymbol{D}\textbf{ en tres partes } \boldsymbol{D_{1}}\textbf{, } \boldsymbol{D_{2}}\textbf{ y } \boldsymbol{D_{3}}\textbf{. Haga un dibujo de los tres recintos. [0,75 puntos]}$

Buscamos por dónde entra y sale la nueva parábola en el recinto, igualando las dos funciones.

$4-x^{2}=3x^{2} \Rightarrow 4=4x^{2} \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm1$

$g(\pm1)=3 \Rightarrow (-1,3) \text{ y } (1,3)$

La curva $g$ toca además el eje de abscisas en el origen, que también es frontera de $D$. Al entrar por $(-1,3)$, bajar hasta $(0,0)$ y volver a subir hasta $(1,3)$, parte el recinto en tres trozos: uno a cada lado y el central, que queda por encima de $g$ y por debajo de $f$.



$\textbf{c) Calcule el área del recinto } \boldsymbol{D_{2}}\textbf{ que contiene al punto } \boldsymbol{P(0,1)}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Comprobamos primero cuál de los tres recintos contiene al punto. En $x=0$ la parábola $g$ vale 0, y como $1>0$, el punto $P$ está por encima de $g$: es el recinto central.

$\mathcal{A}(D_{2})=\int_{-1}^{1}\left[\left(4-x^{2}\right)-3x^{2}\right]dx=\int_{-1}^{1}\left(4-4x^{2}\right)dx$

$=\left[4x-\dfrac{4x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1}=\left(4-\dfrac{4}{3}\right)-\left(-4+\dfrac{4}{3}\right)$

$=8-\dfrac{8}{3}=\dfrac{16}{3}$

El área del recinto $D_{2}$ es de $\frac{16}{3}\approx5{,}33$ unidades de área, justamente la mitad del área total de $D$.