Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2020

Sea la función $f : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$, $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$.

a) Halle los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión. [1 punto]

b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboce una gráfica de la función. [1 punto]

c) Calcule la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa $x = 2$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Halle los puntos de corte de la función con el eje de abscisas y, si existen, los máximos y mínimos relativos y los puntos de inflexión. [1 punto]}$

Para los cortes con el eje de abscisas igualamos la función a cero y sacamos factor común.

$x^{3}-6x^{2}+9x=0 \Rightarrow x\left(x^{2}-6x+9\right)=0 \Rightarrow x(x-3)^{2}=0$

$\begin{cases} x=0 \\ x=3 \text{ (doble)} \end{cases} \Rightarrow (0,0) \text{ y } (3,0)$

Los extremos relativos se buscan entre los puntos que anulan la primera derivada.

$f'(x)=3x^{2}-12x+9=3\left(x^{2}-4x+3\right)=3(x-1)(x-3)$

$f'(x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=1 \\ x=3 \end{cases}$

Decidimos el carácter de cada uno con la segunda derivada.

$f''(x)=6x-12$

$f''(1)=-6<0 \Rightarrow \text{máximo relativo}; \qquad f''(3)=6>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

$f(1)=1-6+9=4, \qquad f(3)=27-54+27=0$

Los puntos de inflexión son los que anulan la segunda derivada y en los que esta cambia de signo.

$f''(x)=0 \Rightarrow 6x-12=0 \Rightarrow x=2$

$f(2)=8-24+18=2$

La función corta al eje de abscisas en $(0,0)$ y $(3,0)$, tiene un máximo relativo en $(1,4)$, un mínimo relativo en $(3,0)$ y un punto de inflexión en $(2,2)$.

$\textbf{b) Estudie los intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad. Esboce una gráfica de la función. [1 punto]}$

El signo de la derivada es el del producto $(x-1)(x-3)$, que es una parábola con las ramas hacia arriba y raíces 1 y 3: positiva fuera de ellas y negativa entre ellas.

$f \text{ crece en } (-\infty,1)\cup(3,+\infty) \text{ y decrece en } (1,3)$

El signo de la segunda derivada, $6x-12$, es el de una recta creciente que se anula en 2.

$x<2 \Rightarrow f''(x)<0 \Rightarrow f \text{ es cóncava}; \qquad x>2 \Rightarrow f''(x)>0 \Rightarrow f \text{ es convexa}$

Por ser una función polinómica, su dominio es todo $\mathbb{R}$ y no tiene asíntotas de ningún tipo.



$\textbf{c) Calcule la recta tangente a la gráfica de la función en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=2}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La recta tangente pasa por el punto de la curva y tiene por pendiente el valor de la derivada allí; los dos números están ya calculados.

$f(2)=2, \qquad f'(2)=3(2-1)(2-3)=-3$

$y-f(2)=f'(2)(x-2)$

$y-2=-3(x-2) \Rightarrow y=-3x+8$

La recta tangente es $y=-3x+8$; como el punto de tangencia es el de inflexión, esta recta atraviesa la curva en lugar de quedarse a un solo lado.