Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un estudiante ha gastado 57 euros en una papelería en la compra de un libro, una calculadora y un estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche juntos.

a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? [1,25 puntos]

b) Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50 %, un 80 % y un 75 % de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcule el precio inicial de cada artículo. [1,25 puntos]

$\textbf{a) ¿Es posible determinar de forma única el precio del libro? ¿Y el de la calculadora? [1,25 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al precio, en euros, del libro, la calculadora y el estuche. El enunciado da dos informaciones: el gasto total y la relación entre el precio del libro y el de los otros dos artículos.

$\begin{cases} x+y+z=57 \\ x=2(y+z) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x+y+z=57 \\ x-2y-2z=0 \end{cases}$

Son dos ecuaciones con tres incógnitas, de modo que el sistema no puede ser compatible determinado: el rango máximo es 2 y hay tres incógnitas.

$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ -2 & -2 \end{vmatrix}=0, \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}=-3\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3$

El sistema es compatible indeterminado y tiene infinitas soluciones. Ahora bien, eso no impide que alguna de las incógnitas quede fijada. Sumando el doble de la primera ecuación a la segunda desaparecen $y$ y $z$ a la vez:

$2(x+y+z)+(x-2y-2z)=2\cdot57+0$

$3x=114 \Rightarrow x=38$

Con ese valor, la primera ecuación deja solo la suma de los otros dos precios:

$y+z=57-38=19$

Sí es posible determinar de forma única el precio del libro, que es de 38 €. El de la calculadora no: solo se sabe que junto con el estuche suma 19 €, y hay infinitos repartos posibles.

$\textbf{b) Además, si los precios del libro, la calculadora y el estuche hubieran sido, respectivamente, un 50 \%, un 80 \% y un 75 \% de los precios iniciales de cada artículo, el estudiante habría pagado un total de 34 euros. Calcule el precio inicial de cada artículo. [1,25 puntos]}$

La nueva condición añade una tercera ecuación, y con ella el sistema ya determina los tres precios.

$0{,}5x+0{,}8y+0{,}75z=34$

Sustituimos el precio del libro, que ya conocemos:

$0{,}5\cdot38+0{,}8y+0{,}75z=34 \Rightarrow 19+0{,}8y+0{,}75z=34$

$0{,}8y+0{,}75z=15$

Junto con la relación obtenida en el apartado anterior queda un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas:

$\begin{cases} y+z=19 \\ 0{,}8y+0{,}75z=15 \end{cases}$

Despejamos $z=19-y$ y sustituimos:

$0{,}8y+0{,}75(19-y)=15$

$0{,}8y+14{,}25-0{,}75y=15 \Rightarrow 0{,}05y=0{,}75 \Rightarrow y=15$

$z=19-15=4$

Comprobamos el total rebajado:

$0{,}5\cdot38+0{,}8\cdot15+0{,}75\cdot4=19+12+3=34\ \text{€}$

Los precios iniciales son 38 € el libro, 15 € la calculadora y 4 € el estuche.