Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu = 30$ y desviación típica $\sigma = 10$. Calcule:

a) La probabilidad de que $X \leq 20$. [1,25 puntos]

b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del 50 % se alcanza en el valor $X \leq 35$ y la probabilidad del 75 % se alcanza en el valor $X \leq 40$. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica? [1,25 puntos]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}6745) = 0{,}75$, $F(0{,}8416) = 0{,}8$, $F(1) = 0{,}8413$, $F(1{,}375) = 0{,}9154$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(2) = 0{,}9772$.

La variable aleatoria del enunciado sigue una distribución normal de parámetros conocidos.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(30;\,10)$

$\textbf{a) La probabilidad de que } \boldsymbol{X\leq20}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-30}{10}\sim N(0,1)$

$P(X\leq20)=P\left(Z\leq\dfrac{20-30}{10}\right)=P(Z\leq-1)$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que llevamos el suceso al semieje positivo usando la simetría de la campana:

$P(Z\leq-1)=P(Z\geq1)=1-F(1)$

$=1-0{,}8413=0{,}1587$



La probabilidad de que $X$ sea menor o igual que 20 es $0{,}1587$, es decir, un $15{,}87\%$.

$\textbf{b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la probabilidad del 50 \% se alcanza en el valor } \boldsymbol{X\leq35}\textbf{ y la probabilidad del 75 \% se alcanza en el valor } \boldsymbol{X\leq40}\textbf{. ¿Cuáles son las nuevas media y desviación típica? [1,25 puntos]}$

El primer dato da la media sin ningún cálculo: en una distribución normal la media coincide con la mediana, es decir, con el valor que deja a su izquierda exactamente la mitad del área.

$P(X\leq35)=0{,}5 \Rightarrow \mu=35$

Se ve también tipificando, porque $F(z)=0{,}5$ obliga a $z=0$:

$\dfrac{35-\mu}{\sigma}=0 \Rightarrow \mu=35$

Con la media ya conocida, el segundo dato da la desviación típica. Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda un área de 0,75.

$F(z)=0{,}75 \Rightarrow z=0{,}6745$



$z=\dfrac{40-35}{\sigma}=0{,}6745$

$\sigma=\dfrac{5}{0{,}6745}\approx7{,}41$

La nueva media es 35 y la nueva desviación típica vale $7{,}41$ aproximadamente, algo menor que la de partida: los datos se han desplazado hacia la derecha y están un poco más agrupados.