Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2021

Sea la función $f(x) = 1 - \dfrac{1}{x^2}$.

a) Haga un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad. [1,5 puntos]

b) Calcule el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa $x = 1$, la recta $y = 1$ y el eje de ordenadas. [1 punto]

$\textbf{a) Haga un esbozo de su gráfica determinando: dominio de definición, asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos relativos y regiones de convexidad y concavidad. [1,5 puntos]}$

Seguimos el orden habitual del estudio de una función: dominio, asíntotas, monotonía, extremos y curvatura.

Dominio. La función es racional y su denominador se anula solo en el origen.

$x^{2}=0 \Rightarrow x=0 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{0\}$

Asíntotas verticales. El único candidato es el punto excluido del dominio.

$\lim_{x\to0}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1-\dfrac{1}{0^{+}}=-\infty$

$x=0 \text{ es asíntota vertical}$

Nótese que el límite es $-\infty$ por los dos lados, porque $x^{2}$ es positivo se acerque $x$ a cero por donde se acerque.

Asíntotas horizontales.

$\lim_{x\to\pm\infty}\left(1-\dfrac{1}{x^{2}}\right)=1-0=1$

$y=1 \text{ es asíntota horizontal}$

Al haber asíntota horizontal en las dos ramas, no puede haber oblicua.

Monotonía y extremos. Derivamos escribiendo antes $f(x)=1-x^{-2}$.

$f'(x)=2x^{-3}=\dfrac{2}{x^{3}}$

La derivada no se anula nunca, de modo que no hay máximos ni mínimos relativos. Su signo es el de $x^{3}$:

$x<0 \Rightarrow f'(x)<0 \Rightarrow f \text{ decrece}; \qquad x>0 \Rightarrow f'(x)>0 \Rightarrow f \text{ crece}$

Curvatura. Derivamos otra vez.

$f''(x)=-6x^{-4}=\dfrac{-6}{x^{4}}$

Como $x^{4}>0$ en todo el dominio, la segunda derivada es siempre negativa y no se anula nunca.

$f''(x)<0 \quad \forall x\neq0 \Rightarrow f \text{ es cóncava en todo su dominio, sin puntos de inflexión}$

Cortes con los ejes. No corta al eje de ordenadas, porque el origen no está en el dominio.

$f(x)=0 \Rightarrow 1=\dfrac{1}{x^{2}} \Rightarrow x^{2}=1 \Rightarrow x=\pm1$



$\textbf{b) Calcule el área de la región limitada por la recta tangente a la función en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=1}\textbf{, la recta } \boldsymbol{y=1}\textbf{ y el eje de ordenadas. [1 punto]}$

Hallamos primero la recta tangente, con el valor de la función y el de su derivada en $x=1$.

$f(1)=1-1=0, \qquad f'(1)=\dfrac{2}{1}=2$

$y-0=2(x-1) \Rightarrow y=2x-2$

Las tres rectas que limitan la región son $y=2x-2$, $y=1$ y $x=0$, así que el recinto es un triángulo. Calculamos sus vértices cortándolas dos a dos.

$y=2x-2 \;\cap\; x=0 \Rightarrow (0,-2)$

$y=1 \;\cap\; x=0 \Rightarrow (0,1)$

$y=2x-2 \;\cap\; y=1 \Rightarrow 2x-2=1 \Rightarrow x=\dfrac{3}{2} \Rightarrow \left(\dfrac{3}{2},1\right)$



Al tratarse de un triángulo se puede calcular el área directamente, tomando como base el lado que descansa sobre el eje de ordenadas.

$\text{base}=1-(-2)=3, \qquad \text{altura}=\dfrac{3}{2}$

$\mathcal{A}=\dfrac{1}{2}\cdot3\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{4}$

También se obtiene integrando la diferencia entre la recta de arriba y la de abajo:

$\mathcal{A}=\int_{0}^{3/2}\left[1-(2x-2)\right]dx=\int_{0}^{3/2}(3-2x)\,dx=\left[3x-x^{2}\right]_{0}^{3/2}=\dfrac{9}{2}-\dfrac{9}{4}=\dfrac{9}{4}$

El área de la región es de $\frac{9}{4}=2{,}25$ unidades de área.