Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Dado el sistema de ecuaciones $\begin{cases} ax + z = a \\ 2x - y - z = -1 \\ x + az = a \end{cases}$, con $a \in \mathbb{R}$.

a) Estudie y clasifique el sistema según los valores de $a$. [1,5 puntos]

b) Resuélvalo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. [1 punto]

$\textbf{a) Estudie y clasifique el sistema según los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius. Empezamos por el determinante de la matriz de coeficientes, que desarrollamos por la segunda columna, la que tiene dos ceros.

$|A|=\begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & a \end{vmatrix}=-1\cdot\begin{vmatrix} a & 1 \\ 1 & a \end{vmatrix}=-(a^{2}-1)=1-a^{2}$

$|A|=0 \Rightarrow a^{2}=1 \Rightarrow \begin{cases} a=1 \\ a=-1 \end{cases}$

Si $a\neq\pm1$:

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Si $a=1$, el sistema queda:

$\begin{cases} x+z=1 \\ 2x-y-z=-1 \\ x+z=1 \end{cases}$

La primera y la tercera ecuación son la misma, así que solo hay dos ecuaciones distintas.

$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{vmatrix}=-1\neq0 \Rightarrow \operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=2<3$

$\Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

Si $a=-1$, el sistema queda:

$\begin{cases} -x+z=-1 \\ 2x-y-z=-1 \\ x-z=-1 \end{cases}$

Ahora la primera y la tercera ecuación son contradictorias: la primera dice $x-z=1$ y la tercera $x-z=-1$. Lo confirmamos orlando el menor no nulo con la columna de términos independientes.

$\begin{vmatrix} -1 & 0 & -1 \\ 2 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=-1(1-0)-1(0+1)=-1-1=-2\neq0$

$\operatorname{rg}(A)=2\neq3=\operatorname{rg}(A^{*}) \Rightarrow \text{sistema incompatible}$

El sistema es compatible determinado salvo para $a=\pm1$: con $a=1$ es compatible indeterminado y con $a=-1$ es incompatible.

$\textbf{b) Resuélvalo para los casos en que el sistema sea compatible indeterminado. [1 punto]}$

El único caso indeterminado es $a=1$. Como el rango es 2, nos quedamos con dos ecuaciones y pasamos la tercera incógnita al otro miembro como parámetro.

$z=\lambda \Rightarrow x+\lambda=1 \Rightarrow x=1-\lambda$

Sustituimos en la segunda ecuación y despejamos $y$:

$2(1-\lambda)-y-\lambda=-1$

$2-2\lambda-y-\lambda=-1 \Rightarrow y=3-3\lambda$

$(x,y,z)=(1-\lambda,\;3-3\lambda,\;\lambda), \quad \lambda\in\mathbb{R}$

Comprobamos la solución en la tercera ecuación, que es la que se ha dejado fuera:

$x+z=(1-\lambda)+\lambda=1=a$

El sistema tiene infinitas soluciones, los puntos de la recta $(1-\lambda,\,3-3\lambda,\,\lambda)$.