Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Se tiene un suceso con variable aleatoria $X$ que sigue una distribución normal de media $\mu = 10$ y desviación típica $\sigma = 2$. Calcule:

a) La probabilidad de que $X \in [6, 10]$. [1,5 puntos]

b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la media coincide pero la probabilidad del 80 % se alcanza en el valor $X \leq 12$. ¿Cuál es la nueva desviación típica? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución de la distribución normal de media 0 y desviación típica 1: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}8416) = 0{,}8$, $F(1) = 0{,}8413$, $F(1{,}25) = 0{,}8944$, $F(1{,}375) = 0{,}9154$, $F(1{,}5) = 0{,}9332$, $F(2) = 0{,}9772$.

La variable aleatoria del enunciado sigue una distribución normal de parámetros conocidos.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(10;\,2)$

$\textbf{a) La probabilidad de que } \boldsymbol{X\in[6,10]}\textbf{. [1,5 puntos]}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal estándar. El extremo superior es la propia media, así que su valor tipificado es cero.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-10}{2}\sim N(0,1)$

$P(6\leq X\leq10)=P\left(\dfrac{6-10}{2}\leq Z\leq\dfrac{10-10}{2}\right)=P(-2\leq Z\leq0)$

Por la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas, esa franja mide lo mismo que la que va de 0 a 2:

$P(-2\leq Z\leq0)=P(0\leq Z\leq2)=F(2)-F(0)$

$=0{,}9772-0{,}5=0{,}4772$



La probabilidad de que $X$ esté entre 6 y 10 es $0{,}4772$, es decir, un $47{,}72\%$.

$\textbf{b) Se hace una revisión de los datos y se observa que la media coincide pero la probabilidad del 80 \% se alcanza en el valor } \boldsymbol{X\leq12}\textbf{. ¿Cuál es la nueva desviación típica? [1 punto]}$

Ahora el dato conocido es la probabilidad y la incógnita es la desviación típica, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda esa área.

$P(X\leq12)=0{,}8 \Rightarrow F(z)=0{,}8 \Rightarrow z=0{,}8416$



Escribimos la tipificación de 12 con la media que no cambia y la desviación típica como incógnita:

$z=\dfrac{12-10}{\sigma}=0{,}8416$

$\sigma=\dfrac{2}{0{,}8416}\approx2{,}38$

La nueva desviación típica es de $2{,}38$ aproximadamente, algo mayor que la de partida: los datos están ahora un poco más dispersos alrededor de la misma media.