Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2021

Dados los puntos $A(1, 1, 0)$ y $B(0, 0, 2)$ y la recta $r : \begin{cases} x = 1 \\ y = 1 + \lambda \\ z = 1 + \lambda \end{cases}$. Halle:

a) Un punto $C \in r$ de forma que el triángulo $ABC$ sea rectángulo con el ángulo recto en $B$. [1,25 puntos]

b) El plano $\pi$ que pasa por $A$ y $B$ y es paralelo a $r$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Un punto } \boldsymbol{C\in r}\textbf{ de forma que el triángulo } \boldsymbol{ABC}\textbf{ sea rectángulo con el ángulo recto en } \boldsymbol{B}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Que el ángulo recto esté en $B$ significa que los dos lados que concurren en ese vértice son perpendiculares, es decir, que su producto escalar se anula. Como $C$ recorre la recta, lo escribimos en función del parámetro y de ahí sale el valor buscado.



$C\in r \Rightarrow C(1,\,1+\lambda,\,1+\lambda)$

$\overrightarrow{BA}=(1,1,0)-(0,0,2)=(1,1,-2)$

$\overrightarrow{BC}=(1,\,1+\lambda,\,1+\lambda)-(0,0,2)=(1,\,1+\lambda,\,\lambda-1)$

$\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1\cdot1+1\cdot(1+\lambda)+(-2)(\lambda-1)$

$=1+1+\lambda-2\lambda+2=4-\lambda$

$4-\lambda=0 \Rightarrow \lambda=4$

$C(1,\,1+4,\,1+4)=C(1,5,5)$

Comprobamos la perpendicularidad con las coordenadas ya calculadas:

$\overrightarrow{BC}=(1,5,3), \qquad \overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=1+5-6=0$

El punto pedido es $C(1,5,5)$.

$\textbf{b) El plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que pasa por } \boldsymbol{A}\textbf{ y } \boldsymbol{B}\textbf{ y es paralelo a } \boldsymbol{r}\textbf{. [1,25 puntos]}$

El plano tiene dos direcciones conocidas: la del segmento que une los dos puntos por los que pasa y la de la recta a la que es paralelo. Su normal es el producto vectorial de ambas.

$\overrightarrow{AB}=(0,0,2)-(1,1,0)=(-1,-1,2), \qquad \vec v_{r}=(0,1,1)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ -1 & -1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix}$

$=(-1-2)\vec i-(-1-0)\vec j+(-1-0)\vec k=(-3,1,-1)$

Cambiamos de signo para trabajar más cómodos e imponemos que pase por $A(1,1,0)$:

$\vec n=(3,-1,1) \Rightarrow \pi: 3x-y+z+D=0$

$3\cdot1-1+0+D=0 \Rightarrow D=-2$

Comprobamos que la recta no está contenida en el plano, sustituyendo su punto de paso $(1,1,1)$:

$3-1+1-2=1\neq0$

El plano pedido es $\pi: 3x-y+z-2=0$.