Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sean las parábolas $y_1 = x^2 - 2x + 3$ e $y_2 = ax^2 + b$.

a) Calcule los valores de $a$ y $b$ para que en el punto de abscisa $x = 2$ las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcule dicha recta tangente. [1 punto]

b) Para $a = 1$, $b = 1$, esboce el recinto limitado por las parábolas entre el eje Y y el punto de corte entre ellas. Calcule el área del mismo. [1,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule los valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ y } \boldsymbol{b}\textbf{ para que en el punto de abscisa } \boldsymbol{x=2}\textbf{ las dos parábolas tengan la misma recta tangente. Calcule dicha recta tangente. [1 punto]}$

Que dos curvas compartan la recta tangente en una abscisa significa dos cosas: que pasan por el mismo punto y que tienen la misma pendiente allí. Esas son las dos ecuaciones del problema.

$y_{1}(2)=y_{2}(2), \qquad y_{1}'(2)=y_{2}'(2)$

Empezamos por las derivadas, que dan directamente el valor de $a$.

$y_{1}'=2x-2 \Rightarrow y_{1}'(2)=2$

$y_{2}'=2ax \Rightarrow y_{2}'(2)=4a$

$4a=2 \Rightarrow a=\dfrac{1}{2}$

Imponemos ahora que las ordenadas coincidan:

$y_{1}(2)=4-4+3=3$

$y_{2}(2)=4a+b=2+b$

$2+b=3 \Rightarrow b=1$

La recta tangente pasa por $(2,3)$ con pendiente 2:

$y-3=2(x-2) \Rightarrow y=2x-1$

Los valores pedidos son $a=\frac{1}{2}$ y $b=1$, y la recta tangente común es $y=2x-1$.

$\textbf{b) Para } \boldsymbol{a=1}\textbf{, } \boldsymbol{b=1}\textbf{, esboce el recinto limitado por las parábolas entre el eje Y y el punto de corte entre ellas. Calcule el área del mismo. [1,5 puntos]}$

Las dos parábolas son ahora:

$y_{1}=x^{2}-2x+3, \qquad y_{2}=x^{2}+1$

Buscamos su punto de corte igualándolas. Al tener el mismo coeficiente principal, los términos de segundo grado se cancelan y queda una ecuación de primer grado: se cortan en un único punto.

$x^{2}-2x+3=x^{2}+1 \Rightarrow -2x+2=0 \Rightarrow x=1$

$y=1^{2}+1=2 \Rightarrow (1,2)$

Para saber cuál va por encima entre el eje $Y$ y ese punto basta evaluarlas en $x=0$:

$y_{1}(0)=3 > y_{2}(0)=1$



El área se obtiene integrando la diferencia entre la de arriba y la de abajo, entre $x=0$ y $x=1$.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{1}\left[(x^{2}-2x+3)-(x^{2}+1)\right]dx=\int_{0}^{1}(-2x+2)\,dx$

$=\left[-x^{2}+2x\right]_{0}^{1}=(-1+2)-0=1$

El área del recinto es de 1 unidad de área.