Ejercicio resuelto de Matrices · Matemáticas II · Asturias · 2021

Sea la matriz $A = \begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}$, con $a \in \mathbb{R}$, y $X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$.

a) Escriba el sistema de ecuaciones $AX = X$ en la forma $BX = 0$. [0,5 puntos]

b) Estudie para qué valores de $a$ el sistema tiene infinitas soluciones. [1 punto]

c) Para $a = 0$ calcule, si existe, la inversa de $A$. [1 punto]

$\textbf{a) Escriba el sistema de ecuaciones } \boldsymbol{AX=X}\textbf{ en la forma } \boldsymbol{BX=0}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Como $X=I\cdot X$, se puede pasar todo a un miembro y sacar factor común $X$ por la derecha.

$AX=X \Rightarrow AX-IX=0 \Rightarrow (A-I)X=0 \Rightarrow B=A-I$

$B=\begin{pmatrix} a & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & a \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a-1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 \end{pmatrix}$

El sistema pedido es $BX=0$, es decir:

$\begin{cases} (a-1)x-z=0 \\ -x-y=0 \\ y+(a-1)z=0 \end{cases}$

$\textbf{b) Estudie para qué valores de } \boldsymbol{a}\textbf{ el sistema tiene infinitas soluciones. [1 punto]}$

Es un sistema homogéneo, de modo que siempre es compatible: la solución trivial $(0,0,0)$ lo cumple. Tiene además infinitas soluciones exactamente cuando el rango de la matriz de coeficientes es menor que el número de incógnitas, es decir, cuando su determinante se anula.

$|B|=\begin{vmatrix} a-1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & a-1 \end{vmatrix}$

Lo desarrollamos por la primera fila:

$=(a-1)\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 1 & a-1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}$

$=(a-1)\left(-(a-1)\right)-(-1)=-(a-1)^{2}+1$

$=-a^{2}+2a-1+1=-a^{2}+2a=-a(a-2)$

$|B|=0 \Rightarrow a(a-2)=0 \Rightarrow \begin{cases} a=0 \\ a=2 \end{cases}$

En los dos casos queda un menor de orden 2 no nulo, de modo que el rango es exactamente 2:

$a=0: \quad \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}=1\neq0; \qquad a=2: \quad \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ -1 & -1 \end{vmatrix}=-1\neq0$

$\operatorname{rg}(B)=2<3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible indeterminado}$

El sistema tiene infinitas soluciones para $a=0$ y para $a=2$; para cualquier otro valor solo admite la solución trivial.

$\textbf{c) Para } \boldsymbol{a=0}\textbf{ calcule, si existe, la inversa de } \boldsymbol{A}\textbf{. [1 punto]}$

Ojo con no confundir las dos matrices: aquí se pide la inversa de $A$, no la de $B$.

$A=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

$|A|=\begin{vmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}=-1\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}=-1\cdot(-1)=1\neq0$

Existe la inversa. La calculamos con la fórmula de la adjunta de la traspuesta.

$A^{t}=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$A^{-1}=\dfrac{1}{|A|}\operatorname{Adj}(A^{t})=\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Comprobamos el resultado multiplicando:

$A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & -1 \\ -1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$