Ejercicio resuelto de Sistemas de ecuaciones · Matemáticas II

Un operador turístico vende a las agencias locales viajes concertados al Caribe, Islas Maldivas y Tailandia. A una primera agencia $A$ le vende 10 viajes al Caribe, 10 a las Maldivas y 10 a Tailandia, cobrando por todo ello 12.000 euros. A una segunda agencia $B$ le vende 10 viajes al Caribe y 20 a Tailandia, cobrando por todo ello 13.000 euros. Y a una tercera agencia $C$ le vende 10 viajes al Caribe y 10 a las Maldivas, cobrando por todo ello 7.000 euros. Se pide:

a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos y calcule, si es posible, dicho precio. [1,5 puntos]

b) Si le obligasen a rebajar un 20 % el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería? [0,5 puntos]

c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 % del viaje al Caribe y así recaudar el mismo dinero? Se mantiene el precio del viaje a Tailandia. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Plantee un sistema de ecuaciones que permita calcular el precio del viaje a cada uno de los destinos y calcule, si es posible, dicho precio. [1,5 puntos]}$

Llamamos $x$, $y$ y $z$ al precio, en euros, de un viaje al Caribe, a las Maldivas y a Tailandia. Cada agencia da una ecuación: se multiplica el número de viajes de cada destino por su precio y se iguala a lo cobrado.

$\begin{cases} 10x+10y+10z=12000 \\ 10x+20z=13000 \\ 10x+10y=7000 \end{cases}$

Todos los coeficientes son múltiplos de 10, así que dividimos las tres ecuaciones para simplificar.

$\begin{cases} x+y+z=1200 \\ x+2z=1300 \\ x+y=700 \end{cases}$

Antes de resolver comprobamos que la solución es única:

$|A|=\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 0 \end{vmatrix}=1(0-2)-1(0-2)+1(1-0)=-2+2+1=1\neq0$

$\operatorname{rg}(A)=\operatorname{rg}(A^{*})=3=\text{n.º de incógnitas} \Rightarrow \text{sistema compatible determinado}$

Restando la tercera ecuación de la primera se obtiene el precio de Tailandia:

$z=1200-700=500$

Con él, la segunda ecuación da el del Caribe:

$x+2\cdot500=1300 \Rightarrow x=300$

$y=700-300=400$

El viaje al Caribe cuesta 300 €, el de las Maldivas 400 € y el de Tailandia 500 €.

$\textbf{b) Si le obligasen a rebajar un 20 \% el precio del viaje al Caribe dejando los otros iguales, ¿cuánto dinero perdería? [0,5 puntos]}$

Lo que se pierde es la rebaja aplicada a cada uno de los viajes al Caribe que se han vendido, así que hay que contarlos primero.

$10+10+10=30 \text{ viajes al Caribe}$

La rebaja por viaje es el 20 % de su precio:

$0{,}20\cdot300=60\ \text{€}$

$30\cdot60=1800\ \text{€}$

Perdería 1800 €. Comprobación: la recaudación total pasa de $12000+13000+7000=32000$ € a 30 200 €.

$\textbf{c) ¿Cuál sería el precio del viaje a las Islas Maldivas necesario para compensar la bajada del 20 \% del viaje al Caribe y así recaudar el mismo dinero? Se mantiene el precio del viaje a Tailandia. [0,5 puntos]}$

Los 1800 € que se pierden hay que recuperarlos repartiéndolos entre los viajes a las Maldivas que se venden, que son los de la agencia $A$ y los de la $C$.

$10+10=20 \text{ viajes a las Maldivas}$

$\dfrac{1800}{20}=90\ \text{€ de subida por viaje}$

$y'=400+90=490\ \text{€}$

Lo comprobamos recalculando la recaudación con el Caribe a 240 € y las Maldivas a 490 €:

$(10\cdot240+10\cdot490+10\cdot500)+(10\cdot240+20\cdot500)+(10\cdot240+10\cdot490)=32000\ \text{€}$

El viaje a las Islas Maldivas debería costar 490 €.