Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

Se está estudiando la altura de la población adulta de una cierta ciudad y se observa que el modelo se rige por una distribución normal con media 1,75 m y desviación típica 0,65 m.

a) Calcule la probabilidad de que, tomado un adulto al azar, mida más de 1,85 m. [0,75 puntos]

b) Si se toma una muestra de 10000 personas, ¿cuántas personas medirán más de 1,85 m? [0,75 puntos]

c) Se observa que, de las 10000 personas de la muestra, 6500 miden menos de 1,90 m. Suponiendo que se mantiene la media, ¿cuál sería la desviación típica? [1 punto]

Algunos valores de la función de distribución $N(0, 1)$ son: $F(x) = P(Z \leq x)$, $F(0) = 0{,}5$, $F(0{,}15) = 0{,}6$, $F(0{,}1538) = 0{,}5596$, $F(0{,}65) = 0{,}7422$, $F(0{,}385) = 0{,}65$.

Llamamos $X$ a la altura en metros de un adulto de la ciudad.

$X\sim N(\mu,\sigma)=N(1{,}75;\,0{,}65)$

$\textbf{a) Calcule la probabilidad de que, tomado un adulto al azar, mida más de 1,85 m. [0,75 puntos]}$

Tipificamos la variable para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}=\dfrac{X-1{,}75}{0{,}65}\sim N(0,1)$

$P(X>1{,}85)=P\left(Z>\dfrac{1{,}85-1{,}75}{0{,}65}\right)=P(Z>0{,}1538)$

La tabla da el área acumulada a la izquierda, así que pasamos al suceso contrario.

$P(Z>0{,}1538)=1-F(0{,}1538)=1-0{,}5596=0{,}4404$



La probabilidad de que un adulto mida más de 1,85 m es $0{,}4404$, es decir, un $44{,}04\%$.

$\textbf{b) Si se toma una muestra de 10000 personas, ¿cuántas personas medirán más de 1,85 m? [0,75 puntos]}$

El número esperado se obtiene multiplicando la proporción del apartado anterior por el tamaño de la muestra.

$10000\cdot0{,}4404=4404$

De las 10000 personas de la muestra, unas 4404 medirán más de 1,85 m.

$\textbf{c) Se observa que, de las 10000 personas de la muestra, 6500 miden menos de 1,90 m, suponiendo que se mantiene la media ¿cuál sería la desviación típica? [1 punto]}$

Ahora la incógnita es la desviación típica, así que se recorre el camino inverso: se busca en la tabla el valor tipificado que deja a su izquierda el área observada.

$P(X<1{,}90)=\dfrac{6500}{10000}=0{,}65$

$F(z)=0{,}65 \Rightarrow z=0{,}385$



Escribimos la tipificación de 1,90 dejando la desviación típica como incógnita y despejamos:

$z=\dfrac{1{,}90-1{,}75}{\sigma}=0{,}385$

$\sigma=\dfrac{0{,}15}{0{,}385}\approx0{,}39$

La nueva desviación típica sería de $0{,}39\ \text{m}$, bastante menor que los $0{,}65\ \text{m}$ de partida: las alturas estarían mucho más agrupadas en torno a la media.