Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dados los puntos $A = (1, 0, 1)$, $B = (1, 6, 1)$, $C = (-2, -1, 5)$ y $E = (-1, 1, 1)$.

a) Calcule la ecuación del plano $\pi$ que contiene a los puntos $A$, $B$ y $C$. [0,5 puntos]

b) Calcule las coordenadas del punto $D$ para que el polígono $ABCD$ sea un paralelogramo y el área de $ABCD$. [1,25 puntos]

c) Halle la ecuación de la recta perpendicular al plano $\pi$ y que pasa por $E$. [0,75 puntos]

$\textbf{a) Calcule la ecuación del plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ que contiene a los puntos } \boldsymbol{A}\textbf{, } \boldsymbol{B}\textbf{ y } \boldsymbol{C}\textbf{. [0,5 puntos]}$

Un vector normal del plano es el producto vectorial de dos lados del triángulo que forman los tres puntos.

$\overrightarrow{AB}=(1,6,1)-(1,0,1)=(0,6,0), \qquad \overrightarrow{AC}=(-2,-1,5)-(1,0,1)=(-3,-1,4)$

$\vec n=\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 6 & 0 \\ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix}=(24-0)\vec i-(0-0)\vec j+(0+18)\vec k=(24,0,18)$

Simplificamos dividiendo entre 6 e imponemos que el plano pase por $A(1,0,1)$:

$\vec n=(4,0,3) \Rightarrow \pi: 4x+3z+D=0$

$4\cdot1+3\cdot1+D=0 \Rightarrow D=-7$

El plano pedido es $\pi: 4x+3z-7=0$.

$\textbf{b) Calcule las coordenadas del punto } \boldsymbol{D}\textbf{ para que el polígono } \boldsymbol{ABCD}\textbf{ sea un paralelogramo y el área de } \boldsymbol{ABCD}\textbf{. [1,25 puntos]}$

En un paralelogramo $ABCD$ los lados $\overline{AB}$ y $\overline{DC}$ son opuestos, de modo que los vectores que los recorren en el mismo sentido son iguales. Esa es la condición que determina $D$.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC} \Rightarrow B-A=C-D \Rightarrow D=C-\overrightarrow{AB}$

$D=(-2,-1,5)-(0,6,0)=(-2,-7,5)$

El área de un paralelogramo es el módulo del producto vectorial de dos lados concurrentes, así que tomamos los que salen de $A$.

$\overrightarrow{AD}=(-2,-7,5)-(1,0,1)=(-3,-7,4)$

$\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 0 & 6 & 0 \\ -3 & -7 & 4 \end{vmatrix}=(24-0)\vec i-(0-0)\vec j+(0+18)\vec k=(24,0,18)$

$\mathcal{A}=\left|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AD}\right|=\sqrt{24^{2}+0^{2}+18^{2}}=\sqrt{576+324}=\sqrt{900}=30$

El cuarto vértice es $D(-2,-7,5)$ y el área del paralelogramo es de 30 unidades de área.

$\textbf{c) Halle la ecuación de la recta perpendicular al plano } \boldsymbol{\pi}\textbf{ y que pasa por } \boldsymbol{E}\textbf{. [0,75 puntos]}$

Una recta perpendicular a un plano tiene como director el normal de ese plano, ya calculado y simplificado en el apartado a).

$\vec v=\vec n_{\pi}=(4,0,3)$

Con el punto $E(-1,1,1)$ escribimos las ecuaciones paramétricas:

$t:\begin{cases} x=-1+4\lambda \\ y=1 \\ z=1+3\lambda \end{cases}, \quad \lambda\in\mathbb{R}$

La ecuación continua no se puede escribir en la forma habitual porque la segunda componente del director es nula, de modo que se expresa así:

$\dfrac{x+1}{4}=\dfrac{z-1}{3}, \qquad y=1$