Ejercicio resuelto de Rectas y Planos · Matemáticas II · 2022

Dadas las rectas $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \alpha \\ y = 1 \\ z = -\alpha \end{cases}$, $s$ perpendicular a $r$, y el vector $\vec{v} = (1, 1, 1)$.

a) Calcule $\vec{v}_r$, un vector director de $r$. [0,5 puntos]

b) Calcule un vector $\vec{u}$ director de $s$ tal que $\vec{u} \times \vec{v}_r$ es proporcional a $\vec{v}$. [1 punto]

c) Calcule la ecuación del plano que contiene a las rectas $r$ y $s'$, siendo $s' \equiv x - 1 = \dfrac{y-1}{-2} = z$. [1 punto]

$\textbf{a) Calcule } \boldsymbol{\vec{v}_r}\textbf{, un vector director de } \boldsymbol{r}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La recta viene dada en ecuaciones paramétricas, así que su director son los coeficientes del parámetro en las tres coordenadas.

$r:\begin{cases} x=1+\alpha \\ y=1 \\ z=-\alpha \end{cases} \Rightarrow P_{r}(1,1,0), \quad \vec v_{r}=(1,0,-1)$

$\textbf{b) Calcule un vector } \boldsymbol{\vec{u}}\textbf{ director de } \boldsymbol{s}\textbf{ tal que } \boldsymbol{\vec{u}\times\vec{v}_r}\textbf{ es proporcional a } \boldsymbol{\vec{v}}\textbf{. [1 punto]}$

El vector pedido ha de cumplir dos condiciones: como $s$ es perpendicular a $r$, su producto escalar con $\vec v_{r}$ ha de anularse; y su producto vectorial con $\vec v_{r}$ ha de ser un múltiplo de $\vec v$. Llamamos $\vec u=(u_{1},u_{2},u_{3})$ y escribimos las dos.

$\vec u\cdot\vec v_{r}=u_{1}-u_{3}=0 \Rightarrow u_{1}=u_{3}$

$\vec u\times\vec v_{r}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ u_{1} & u_{2} & u_{3} \\ 1 & 0 & -1 \end{vmatrix}=(-u_{2},\;u_{1}+u_{3},\;-u_{2})$

Que ese vector sea proporcional a $\vec v=(1,1,1)$ significa que sus tres componentes son iguales entre sí:

$-u_{2}=u_{1}+u_{3}=-u_{2}$

Usando $u_{1}=u_{3}$ la condición se reduce a una sola igualdad:

$-u_{2}=2u_{1} \Rightarrow u_{2}=-2u_{1}$

Tomando $u_{1}=1$ resulta el vector más sencillo:

$\vec u=(1,-2,1)$

Comprobamos las dos condiciones:

$\vec u\cdot\vec v_{r}=1-1=0, \qquad \vec u\times\vec v_{r}=(2,2,2)=2\vec v$

Un vector válido es $\vec u=(1,-2,1)$, y cualquier múltiplo suyo también lo es.

$\textbf{c) Calcule la ecuación del plano que contiene a las rectas } \boldsymbol{r}\textbf{ y } \boldsymbol{s'}\textbf{, siendo } \boldsymbol{s'\equiv x-1=\frac{y-1}{-2}=z}\textbf{. [1 punto]}$

Leemos punto y director de $s'$ en su ecuación continua y observamos que su director es justamente el vector hallado en el apartado anterior.

$P_{s'}(1,1,0), \qquad \vec v_{s'}=(1,-2,1)$

Las dos rectas pasan por el mismo punto $(1,1,0)$, luego son secantes y determinan un único plano.



El normal de ese plano es perpendicular a los dos directores, así que lo obtenemos con su producto vectorial.

$\vec n=\vec v_{r}\times\vec v_{s'}=\begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ 1 & 0 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \end{vmatrix}=(0-2)\vec i-(1+1)\vec j+(-2-0)\vec k=(-2,-2,-2)$

Simplificamos dividiendo entre $-2$ e imponemos que el plano pase por el punto común:

$\vec n=(1,1,1) \Rightarrow \pi: x+y+z+D=0$

$1+1+0+D=0 \Rightarrow D=-2$

El plano que contiene a las dos rectas es $\pi: x+y+z=2$.