Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Dada la función $f(x) = -\operatorname{sen}(2x) + 1$.

a) Calcule una primitiva que pase por el origen de coordenadas. [1,25 puntos]

b) Calcule el área limitada por $f$, el eje X y las rectas $x = 0$ y $x = \pi$. [1,25 puntos]

$\textbf{a) Calcule una primitiva que pase por el origen de coordenadas. [1,25 puntos]}$

Integramos término a término; la del seno de un ángulo doble lleva el factor $\frac{1}{2}$ que compensa la derivada interna.

$\int\left(-\operatorname{sen}(2x)+1\right)dx=\dfrac{1}{2}\cos(2x)+x+C$

Imponemos que la primitiva pase por el origen, es decir, que $F(0)=0$.

$F(0)=\dfrac{1}{2}\cos(0)+0+C=\dfrac{1}{2}+C=0 \Rightarrow C=-\dfrac{1}{2}$

La primitiva pedida es $F(x)=x+\frac{1}{2}\cos(2x)-\frac{1}{2}$.

$\textbf{b) Calcule el área limitada por } \boldsymbol{f}\textbf{, el eje X y las rectas } \boldsymbol{x=0}\textbf{ y } \boldsymbol{x=\pi}\textbf{. [1,25 puntos]}$

Antes de integrar estudiamos el signo de la función en el intervalo, porque en los tramos negativos la integral restaría área. Como el seno nunca supera a 1:

$\operatorname{sen}(2x)\leq1 \Rightarrow f(x)=1-\operatorname{sen}(2x)\geq0 \quad \forall x\in\mathbb{R}$

La función solo se anula donde el seno vale 1, y en el intervalo considerado eso ocurre en un único punto:

$\operatorname{sen}(2x)=1 \Rightarrow 2x=\dfrac{\pi}{2} \Rightarrow x=\dfrac{\pi}{4}$

La curva toca el eje sin atravesarlo, de modo que no hay que partir la integral en dos.



Aplicamos la regla de Barrow con la primitiva obtenida en el apartado anterior.

$\mathcal{A}=\int_{0}^{\pi}\left(1-\operatorname{sen}(2x)\right)dx=\left[x+\dfrac{1}{2}\cos(2x)\right]_{0}^{\pi}$

$=\left(\pi+\dfrac{1}{2}\cos(2\pi)\right)-\left(0+\dfrac{1}{2}\cos(0)\right)$

$=\pi+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}=\pi$

El área limitada por la curva, el eje X y las dos rectas es de $\pi\approx3{,}14$ unidades de área.