Ejercicio resuelto de Funciones · Matemáticas II · 2022

Se considera la función $f(x) = \dfrac{2x^2}{1 - x}$.

a) Calcule el dominio de la función $f$ y sus asíntotas. [0,75 puntos]

b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]

c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de $f$. [0,5 puntos]

$\textbf{a) Calcule el dominio de la función } \boldsymbol{f}\textbf{ y sus asíntotas. [0,75 puntos]}$

La función es racional, así que del dominio se quitan los valores que anulan el denominador.

$1-x=0 \Rightarrow x=1 \Rightarrow \operatorname{Dom} f=\mathbb{R}-\{1\}$

Asíntotas verticales. El numerador vale 2 en $x=1$, luego no se cancela y allí hay una.

$\lim_{x\to1^{-}}\dfrac{2x^{2}}{1-x}=\dfrac{2}{0^{+}}=+\infty, \qquad \lim_{x\to1^{+}}\dfrac{2x^{2}}{1-x}=\dfrac{2}{0^{-}}=-\infty$

$x=1 \text{ es asíntota vertical}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que no hay ninguna.

Asíntota oblicua. La diferencia de grados es exactamente uno, así que sí la hay; efectuamos la división entera.

$2x^{2}=-2(x+1)(1-x)+2 \Rightarrow f(x)=-2x-2+\dfrac{2}{1-x}$

Como $\frac{2}{1-x}\to0$ cuando $x\to\pm\infty$:

$y=-2x-2 \text{ es asíntota oblicua}$

$\textbf{b) Halle, en caso de que existan, los máximos y mínimos y puntos de inflexión. Calcule los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [1,25 puntos]}$

Derivamos por la regla del cociente.

$f'(x)=\dfrac{4x(1-x)-2x^{2}(-1)}{(1-x)^{2}}=\dfrac{4x-4x^{2}+2x^{2}}{(1-x)^{2}}=\dfrac{2x(2-x)}{(1-x)^{2}}$

$f'(x)=0 \Rightarrow 2x(2-x)=0 \Rightarrow \begin{cases} x=0 \\ x=2 \end{cases}$

El denominador es siempre positivo, de modo que el signo de la derivada es el del producto $2x(2-x)$, que es una parábola con las ramas hacia abajo y raíces 0 y 2: negativa fuera de ellas y positiva entre ellas.

$f \text{ decrece en } (-\infty,0) \text{ y en } (2,+\infty); \text{ crece en } (0,1) \text{ y en } (1,2)$

Decidimos el carácter de los extremos con la segunda derivada, que se obtiene cómodamente de la expresión del apartado anterior.

$f'(x)=-2+\dfrac{2}{(1-x)^{2}} \Rightarrow f''(x)=\dfrac{4}{(1-x)^{3}}$

$f''(0)=\dfrac{4}{1}=4>0 \Rightarrow \text{mínimo relativo}$

$f''(2)=\dfrac{4}{-1}=-4<0 \Rightarrow \text{máximo relativo}$

$f(0)=0, \qquad f(2)=\dfrac{8}{-1}=-8$

La segunda derivada no se anula nunca, así que no hay puntos de inflexión; su signo cambia solo al atravesar $x=1$, que no está en el dominio.

Hay un mínimo relativo en $(0,0)$ y un máximo relativo en $(2,-8)$, y no hay puntos de inflexión. Que el mínimo quede por encima del máximo es posible porque entre los dos hay una asíntota vertical.

$\textbf{c) Utilizando los apartados anteriores, realice un esbozo de la gráfica de } \boldsymbol{f}\textbf{. [0,5 puntos]}$

La rama de la izquierda baja desde la asíntota oblicua, toca el origen y sube hasta $+\infty$; la de la derecha viene de $-\infty$, alcanza el máximo en $(2,-8)$ y después se acerca a la oblicua por debajo.